einige Fragen zum Integral...

    Wir haben so einen schönen Zettel mit Aufgaben bekommen, nur leider momentan kein Mathebuch zu diesem Thema, um da mal was nachlesen zu können (sind Extraaufgaben um für's Abi zu üben).
    Und da ihr mir hier ja nun schonmal so schön geholfen habt, dachte ich, frage ich doch hier nochmal nach ;)
    (Freitag besprechen wir es in der Schule, aber es wäre eben toll, da nicht völlig ahnungslos dazustehen - macht keinen guten Eindruck).


    Es wäre also toll, wenn sich das mal jemand durchlesen könnte (wenn es geht bis morgen abend!) und zu der einen oder anderen Aufgabe etwas schreiben würde :)



    Dann kommen hier die Aufgaben, die ich nicht konnte bzw. wo ich mir nicht sicher bin:


    1. Gib zu f eine Stammfunktion an:


    f(x)= (x^6+1)/x^2


    ableiten, ok, das könnte ich, aber wie geht das sorum? Wir hatten das letztes Jahr mal, aber da war ich nicht da...


    und genauso die nächste Aufgabe:


    2. f(x)= 2/((4x+1)^2)


    und was ich dann gar nicht mehr verstehe:


    Zeige: x-->x^4/4+x^2+1 ist eine Stammfunktion, aber keine Integralfunktion zu f(x) = x^3+2x


    ich meine: wenn man eine Stammfunktion bildet, muss man doch auch integrieren - also wenn man die Stammfunktion wieder ableitet, soll f(x) rauskommen. Und bei der Integralfunktion? Oder soll da dann f(x) rauskommen, wenn man die Integralfunktion integriert?



    so und dann, das hatten wir nie:


    3. Bestimme Integral von 0 bis b von 2x dx; b>0 als Grenzwert von Untersummen und Obersummen - was ist das?


    und dazu 4. Wieviel Prozent ist bereits S100 (als Untersumme) von dem Integral von 0 bis b von 2x dx?
    Um wieviel unterscheiden sich S1000 (Obersumme) und S1000(Untersumme)?


    Ich glaube, das ist so, dass, wenn man eine Kurve hat und die in kleine Balken aufteilt, um die Fläche so auszurechnen, statt mit Integral, die Obersumme die Summe der Balken von dem rechten Punkt (wenn die Kurve durch den I. Quadranten läuft), dem linken Punkt also oberhalb der Kurve, sodass bei dem Ergebnis insgesamt mehr rauskommen müsste, als die Fläche unter der Kurve tatsächlich ergibt, während es bei der Untersumme umgekehrt ist?
    Aber wie rechnet man das aus?


    und dann noch
    5. Welche Zahl muss man für b einsetzen, damit das Integral von 0 bis b von 2x dx = 16 gilt? okay, 4 würde ich mal sagen, aber dann:


    Wie groß muss in diesem Fall n mindestens sein, damit Sn(Obersumme) - Sn(Untersumme) < 0,1?


    joa, das war's dann soweit erstmal...
    Ich hoffe auf Antworten! :D

    so erstmal ein Teil:


    1)
    f(x) = (x[UP]6[/UP] + 1) / x[UP]2[/UP] --> das kannst du auch wie folgt schreiben:
    f(x) = x[UP]6[/UP]/x[UP]2[/UP] + 1/x[UP]2[/UP] = x[UP]4[/UP] + 1/x[UP]2[/UP]


    Das kann man jetzt integrieren:
    ∫ ( x[UP]4[/UP] + 1/x[UP]2[/UP] ) dx = ∫ x[UP]4[/UP] dx + ∫ 1/x[UP]2[/UP] dx


    (wie man jetzt die einzelnen Integrale berechnest, weißt du sicherlich, oder?


    = x[UP]5[/UP]/5 + (-1/x) = x[UP]5[/UP]/5 - 1/x = (x[UP]6[/UP] - 5)/(5x)



    2) Hier muss man die Substitutionsmethode anwenden.


    Ich ersetze (4x+1) durch z, also (4x+1) = z --> dz/dx = 4 --> dx = dz/4


    Also:
    ∫ 2/(4x+1)[UP]2[/UP] dx = ∫ 2/z[UP]2[/UP] *dz/4 = ∫ 1/(2*z[UP]2[/UP]) dz
    = 1/2*∫ 1/z[UP]2[/UP] dz
    --> wie das Integral von 1/z[UP]2[/UP] heißt, weißt du sicherlich. Es ist (wie oben beim 1/x[UP]2[/UP]) -1/z


    = 1/2 * -1/z --> Rücksubstituieren


    = 1/2 * 1/(4x+1) = 1/(2*(4x + 1)) = 1/(8x+2)

    Zitat

    Zeige: x^4/4+x^2+1 ist eine Stammfunktion, aber keine Integralfunktion zu f(x) = x^3+2x


    Hmm, was ist denn bei euch eine Integralfunktion.
    Also eine Stammfunktion ist es auf jedenfall, denn
    1.) wenn man x^4/4+x^2+1 ableitet, erhält man x^3+2x
    2.) Integriert man f(x), so erhält man als F(x) = x[UP]4[/UP]/4 + x[UP]2[/UP] + C. Denn beim unbestimmten Intgral kommt immer noch ein konstanter Faktor dazu.
    F(x) = x[UP]4[/UP]/4 + x[UP]2[/UP] + C beinhaltet ALLE Stammfunktionen. Wählt man C=1 so erhält man EINE spezielle Stammfunktion, und zwar hier x[UP]4[/UP]/4 + x[UP]2[/UP] + 1.


    Was ihr aber genau mit Integralfunktion hier meint, weiß ich momentan nicht.

    So jetzt zum anderen:

    Zitat

    Ich glaube, das ist so, dass, wenn man eine Kurve hat und die in kleine Balken aufteilt, um die Fläche so auszurechnen, statt mit Integral, die Obersumme die Summe der Balken von dem rechten Punkt (wenn die Kurve durch den I. Quadranten läuft), dem linken Punkt also oberhalb der Kurve, sodass bei dem Ergebnis insgesamt mehr rauskommen müsste, als die Fläche unter der Kurve tatsächlich ergibt, während es bei der Untersumme umgekehrt ist?

    Genau.


    Ich bezeichne mal die Obersumme mit Sn und die Untersumme mit sn.


    Dein Intervall geht von 0 bis b --> deine Intervalleinteilung ist (b-0)/n = b/n


    Die Obersumme ist definiert als:
    Sn = M0*b/n + M1*b/n + ... usw.
    Dabei ist M0, M1 die höhe des Kästchens, also der Funktionswert von f(x)=2x. Da wir die Obersumme haben wollen, müssen wir immer am rechten Rand des Kästchens ablesen, also bei i=1 beginnen und bis n gehen.
    Daher lautet die Obersumme: Sn = ∑ ( Mi*b/n , i=1 , n )


    Bei der Untersumme nehmen wir den linken Rand des Kästchens, müssen also bei i=0 beginnen und auch nur bis n-1 gehen.
    Daher lautet die Untersumme: sn = ∑ ( Mi*b/n , i=0 , n-1 )


    Mi ist die Höhe des Kästchens, also der Funktionswert von 2x, an der Stelle des i. Kästchens. (Jedes Kästchen ist zwar gleich breit, nämlich b/n, aber die Höhe ist ja immer anders. Wir müssen immer die Höhe am i-ten Kästchen nehmen.) --> Mi = f(i*b/n) = 2*i*b/n


    So damit lauten die Summen:
    Sn = ∑ (2*i*b/n *b/n, i=1, n)
    Sn = 2b[UP]2[/UP]/n[UP]2[/UP]* ∑ (i, i=1, n)


    Um weiter zu rechnen muss man wissen, dass ∑ (i, i=1, n) die Summer der nat. Zahlen von 1 bis n ist. Dafür gibt es eine Formel, und zwar ∑ (i, i=1, n) = n(n+1)/2. (Tafelwerk/Formelsammlung)
    -->
    Sn = 2b[UP]2[/UP]/n[UP]2[/UP] * n(n+1)/2
    Sn = b[UP]2[/UP]*(n+1)/n


    Der Grenzwert davon ist:
    lim ( Sn, n --> ∞ )=
    lim ( b[UP]2[/UP]*(n+1)/n, n--> ∞ ) =
    b[UP]2[/UP] * lim( (n+1)/n, n--> ∞ ) =
    b[UP]2[/UP] * lim( 1 + 1/n, n--> ∞ ) --> Der Limes geht gegen 1
    = b[UP]2[/UP]



    Jetzt die Untersumme:
    sn = ∑ (2*i*b/n *b/n, i=0, n-1)
    sn = 2b[UP]2[/UP]/n[UP]2[/UP]* ∑ (i, i=0, n-1)
    Um weiter zu rechnen, muss man wissen was ∑ (i, i=0, n-1) ist!
    Das ist die Summe der nat. Zahlen bis n-1. Wir haben oben die Formel gehabt für die Summe bis n. Wenn wir dort für das n jetzt (n-1) einsetzen, erhalten wir die formel für die Summe bis n-1. ;) Daraus folgt für ∑ (i, i=0, n-1), = (n-1)*n/2
    -->
    sn = 2b[UP]2[/UP]/n[UP]2[/UP]*(n-1)*n/2
    sn = b[UP]2[/UP]*(n-1)/n


    Der Grenzwert davon ist:
    lim ( sn, n --> ∞ )=
    lim ( b[UP]2[/UP]*(n-1)/n, n--> ∞ ) =
    b[UP]2[/UP] * lim( (n-1)/n, n--> ∞ ) =
    b[UP]2[/UP] * lim( 1 - 1/n, n--> ∞ ) --> Der Limes geht gegen 1
    = b[UP]2[/UP]


    Die Grenzwerte beider Summen gehen für n--> ∞ zum selben Wert b[UP]2[/UP]. Das ist dann das bestimme Integral.

    So jetzt zu den anderen beiden Teilen:


    4) Dazu müssen wir jetzt einfach die Untersume für n=100 ausrechnen.
    Die Untersumme sn ist ja die rote Formel.
    n = 100 einsetzen -->


    s100 = b[UP]2[/UP] * 99/100 = b[UP]2[/UP] * 0,99
    --> Es sind schon 99% von b[UP]2[/UP] erreicht.


    s1000 = b[UP]2[/UP] * 0,999
    S1000 = b[UP]2[/UP] * 1,001 (Obersumme, blaue Formel)


    Differenz der beiden:
    S1000 - s1000 = b[UP]2[/UP]*0,002
    Sie unterscheiden sich also nur noch um 0,2% vom eigentlichen b[UP]2[/UP]-Wert.


    5)

    Zitat

    Welche Zahl muss man für b einsetzen, damit das Integral von 0 bis b von 2x dx = 16 gilt? okay, 4 würde ich mal sagen, aber dann:

    richtig


    Jetzt berechnen wir einfach wieder die Differenz der Summen, aber für ein allgemeines n.
    Also blaue Formel - roter Formel
    -->


    Sn - sn
    = b[UP]2[/UP] (n+1)/n - b[UP]2[/UP] (n-1)/n
    = b[UP]2[/UP] ( (n+1)/n - (n-1)/n )
    = b[UP]2[/UP] * 2/n --> b=4 einsetzen


    = 16 * 2/n = 32/n --> und das soll kleiner als 0,1 sein -->
    32/n < 0,1 --> n > 32/0,1 --> n > 320

    hallo, vielen Dank für die vielen Erklärungen! Das muss ja richtig gedauert haben, das alles zu tippen...


    Abgesehen von der Sache mit i konnte ich alles nachvollziehen, aber das wird schon noch, wenn ich es nochmal angucke und nachrechne.
    Und die Formeln kann man ja in jedem Fall benutzen *g*


    also - vielen Dank nochmal! :))



    hmm, ich habe hier so eine ähnlich Aufgabe, habe mir das mit dem Substituieren hier angesehen, im Prinzip auch nachvollziehen können außer diesem Schritt:


    (4x+1) = z - okay


    aber wie kommst du jetzt auf dz/dx = 4?!


    ich hätte jetzt ja gedacht, gut, löst man z = 4x+1 nach x auf, bekommt x = (z-1)/4 raus und setzt das einfach ein, also dx = d * (z-1)/4, aber das ist ja offenbar falsch - wie kommt man also auf das richtige Ergebnis?!