Schwierige Mathe- Aufgabe??

Die Frage ist muss jede Stadt mit der anderen direkt verbunden sein oder nicht.

Prinzipiell würde ich jetzt auch sagen dass die beiden sich kreuzenden Diagonalen den kürzesten Weg darstellen.

Also viele Möglichkeiten dürfte es da nicht geben. Immerhin ist die kürzeste Verbinndung zwischen 2 Punkten die Gerade.

Ist das wirklich die ganze Aufgaben Stellung? Das ist nicht für die Schule oder? Ich mein Abgabetermin und Rücksprache mit dem Lehrer? (Bin nur neugierig)

Ich gehe jetzt mal von aus, dass die Städte auf einer ebenen Fläche liegen und wir nur mit der euklidischen Geometrie rechnen.
Falls nicht, und man soll die Erdkrümmung da noch mit einrechnen dann ergeben sich andere Wege. dann ist nicht mehr die Gerade die kürzeste Verbindung sondern eine bestimmte kurve. (vgl. Flugrouten von Flugzeugen)

wenn ich mich nicht verrechnet haben sollte, ist eine Lösung zwischen einer X-Variante (Diagonalen kreuzen sich) und einer H-Variante die wahrscheinlichste.

zu anfang haben es mir die Kreise angetan.
I) möglich wäre ein Umkreis (bzw. nur 3/4 davon), wobei die Städte auf der Kreisbahn liegen und der Radius des Kreises die hälfte der Diagonale ist. --> war länger als die X-Variante

II) zwei halbkreise, die sich im Mittelpunkt des quadrates berühren und deren Radius a/2 ist --> war auch zu lang

also bin ich zu meiner ursprünglichen überlegung zurückgekommen.
auf gut glück habe ich versucht, ein mittelding aus der H-Lösung und der X-Lösung zu berechnen. die 2Y-Lösung.

ein waagerechtes Teilstück mit der Länge a/2 (mittig gelegen)von deren enden geraden zu den Städten laufen.

die Lösung wäre:
a/2 + 4(Wurzel[a²/4]+[a²/2])

obs stimmt, weiß ich nicht.
mach eine extremwertaufgabe draus

So Matthias hat mich auf die idee gebracht die 2 Y- Variante weiterzuverfolgen.

Und er hat Recht die Variante ist besser als die Diagonalen.
Allerdings ist sein Y nicht das Optimum.

Zur Rechnung:
a ist die Seitenlänge des Quadrates (hier 18,3km)
Wie man aus der Skizze erkennt, benötigt man den Mittelweg (a-x*a) und die 4 Zufahrtswege nach Pythagoras √ ((a*x)^2 + (a/2)^2).

Zusammengefügt und vereinfacht:

l = [4·√(x^2 + 1/4) + (1 - 2·x)]*a

So nun den Extrempunkt ausrechnen ( nach X ableiten)

Die Lösung ergibt l = 2.732050807*a.

Im vgl zu den diagonalen l = 2.828427124*a

Ergibt übrigens rund 50km, sowas ist meist kein zufall.

Wenigstens ein Danke hätte ich erwartet

Oder ist das zuviel verlangt, wenn einem kostenlos Hilfe angeboten wird bzw. geholfen wurde?

ok die skizze stimmt nicht ganz mit dem überein wa sich geschrieben hab.

in der skizze bezeichne ich die X als eine absolute strecke und in der Rechnung ist x nur eine relative Größe zu a (also eine Verhältniswert)

Letzteres rechnet sich etwas besser.

Der Mittelweg ist natürlich dann auch Mittelweg (a - 2*x*a). Denn du hast ja das "Y" auf beiden seiten

Du kannst es natürlich auch so machen das X ein fester wert ist (Variante 1)

--> Mittelweg : lM= (a-2*x)
--> Zufahrtsweg: lZ= √ (a^2/4 + x^2)

im anhang nochmal die korrigierte skizze für x als Verhältnis

Das ableiten sollte eigentlich kein Problem darstellen.

l = [4·√(x^2 + 1/4) + (1 - 2·x)]*a

kannst du darstellen als

I = [g(x)+h(x)]*a
einfach g(x) und h(x) einzeln ableiten und wieder hinschreiben

(1 - 2·x) sollte kein Problem darstellen.

bei 4·√(x^2 + 1/4) musst du die Klammer beachten (Kettenregel anwenden)

P.S. Ich könnt auch einfach die Lösung hinschreiben, aber ich denke dann verstehst du weniger worum es bei den Aufgaben geht.

h(x) = a-2*x

h'(x) = dh(x) /dx

(d ist ein differentialzeichen, damit es auch Mathematisch richtig ist)

Du leitest als a-2*x nach x ab

(a-2*x)' = -2
Warum?
a ist eine konstante die nicht von x abhäng, daher ist a abgeleitet 0
-2x ist von x abhängig, mit den normalen ableitungsregeln bekommt man
d(-2x)/dx = (-2x)' = -2 * 1 *x ^(1-1) = -2 *x^0 = -2 *1 = -2
(mal ganz ausführlich aufgeschrieben)

so g(x) = 4*√ (a^2/4+x^2) = 4* (a^2/4+x^2)^(1/2)

denn: √ (x) kann man auch als x^(1/2) schreiben.
Kettenregel
g'(x) = g'(u) * u'(x)

g(u) ... äußere Funktion (hier: 4*(u)^(1/2) )
u(x) ... innere Funktion (hier: a^2/4+x^2 )

g'(u) = 1/2 * 4*(u)^(1/2 - 1) = 2*u^(-1/2) = 2/√ (u)

u'(x) = 0 + 2*x = 2x (klar oder)

nun g'(u) und u'(x) in g(x) einsetzen

g'(x) = g'(u) * u'(x) = 2*u^(-1/2) * 2x

nun haben wir noch das u bzw u(x) in der Formel also müssen wir das auch noch zurücksubstituieren u(x) = a^2/4+x^2 (s.o.)

--> g'(x) = g'(u) * u'(x) = 2*u^(-1/2) * 2x = 2*(a^2/4+x^2)^(-1/2) * 2x

vereinfacht g'(x) = 8·x/√(4·x^2 + a^2)

l'(x) ist also 8·x/√(4·x^2 + a^2) - 2·x

so das muss du nun nach mit 0 gleichsetzen und nach x auflösen (ist etwas Arbeit geb ich zu)

-2 natürlich kA wo ich das x wieder herbekomme, das passiert mir immer wieder

--> l'(x) = 8·x/√(4·x^2 + a^2) - 2

entschuldige

1. Deine x-Werte sind fast richtig
x= √ (3) /6 * |a|

wo bekommst du den negativen Term her?

2. Wenn du dann dein a=18.3cm und dein x=5.283cm einsetzt müsstest du auf eine Länge von rund 50cm kommen

Zu der Formel:

f(x) = 2·(a^2/4+x^2)^(-1/2) · 2x
als Wurzelschreiben
= 2/√ (a^2/4+x^2) · 2x
zusammenziehen von 2·2·x
= 4·x/√ (a^2/4+x^2)
Zähler und Nenner mit 2 erweitern
= 2·4·x/(2·√ (a^2/4+x^2) )
Die 2 in die Wurzel ziehen
= 2·4·x/√ (4·a^2/4+4·x^2)
nach kurz kürzen und fertig
= 8·x/√ (4·x^2 + a^2)

Klar? Sind noch andere Fragen zu dem Thema? Bin ab morgen eine Woche lang nicht da.

achso die Variante mit den Diagonalen ist insgesamt 51.76cm lang ( 2*25.88cm)
Das ist natürlich länger als die 50cm der Doppel-Y-Variante