Ableitungen

so hier schon mal die ersten beiden Aufgaben:

1)
du meinst sicher mit deiner Aufgabe:
(x^2-3x+5)/(x^2+x+1) --> die Schreibweise ist am PC besser

Hier muss man die Quotientenregel anwenden, und die lautet: (u'*v - u*v') / v^2, wobei u der Zähler und v der Nenner ist.
-->
( (x^2-3x+5)/(x^2+x+1) )'

= ( (2x-3)(x^2+x+1) - (x^2-3x+5)(2x+1) ) / (x^2+x+1)^2
--> Zähler zusammenfassen
= 4(x^2-2x-2) / (x^2+x+1)^2

die 2. Ableitung geht genauso, also (u'v-uv')/v^2, wobei u jetzt der Zähler der 1. Abl. und v der Nenner ist.

=4*( (2x-2)(x^2+x+1)^2 - (x^2-2x-2)*2(x^2 + x + 1)·(2·x + 1)/(x^2+x+1)^4
--> Zähler zusammenfassen und einmal mit Nenner kürzen
= - 8·(x^3 - 3·x^2 - 6·x - 1) / (x^2 + x + 1)^3

(wenn du beim Zusammenfassen Hilfe brauchst, melde dich nochmal)

2)
(2x³ + 7x - 3) tan (x) --> Anwenden von Produktregel, also u'v+uv'

Die Schwierigkeit besteht hier, tan(x) abzuleiten. Dazu muss man wissen, das tan(x) = sin(x) / cos(x) ist.
Mittel Quotientenregel ergibt das:
tan' = (cos*cos - sin*-sin)/cos^2 = (cos^2 + sin^2)/cos^2 =1/cos^2

so jetzt die Funktion:

= (6x^2+7)*tan(x) + (2x^3+7x-3)/cos(x)^2
mehr kann man da auch nicht zusammenfassen.

2.Ableitung, Produktregel im ersten Term (also bis zum Pluszeichen) und im 2. Term (alles nach dem +) Quotientenregel
Man muss wissen, dass (cos(x)^2)' = - 2·SIN(x)·COS(x) ist.
(Und zwar ist ja cos^2 = cos*cos und man kann mit der Produktregel das ableiten.)

= 12x*tan(x)+(6x^2+7)/cos(x)^2 + ((6x^2+7)*cos(x)^2 - (2x^3+7x-3)* (- 2·SIN(x)·COS(x) ) )/ cos(x)^4

=12·x·TAN(x) + (12·x^2 + 14)/COS(x)^2 + 2·(2·x^3 + 7·x - 3)·SIN(x)/COS(x)^3

Frage:
Ist wirklich bei 3) --> arcsin( e^(-x²) ) gemeint???

Also ich schreib erstmal was zur 6)

(6) x^x^2 muss man ersteinmal umwandeln, denn in dieser Form kann man mit normalen Differentiationsgesetzen wenig machen.

wir erweitern erstmal mit dem natürlichen logarithmus und der e-Funktion (exp() )

x^x^2 = exp( ln(x^x^2) )

mit den Logeithmusgesetzen bekommen wir dann

--> exp( x^2 * ln(x))

nach dieser Umformung haben wir dann eine Funktion die man mit den Diffentiationsreglen ableiten können.

also exp( f(x)*g(x) )

Kettenregel für die e-Funktion. Die Ableitung des Exponenten der e-Funktion muss dabei durch Produktregel abgeleitet werden.

Wir geben dir gern mehr Hilfe, aber Lösungen wollen wir nicht geben, denn wenn Lösungswegeg gegeben sind lernt man nichts (Ist aus meiner Ansicht und Erfahrung so)

Deine Lösungen kontrollieren wir natürlich gerne.

Zitat

Original von Interstar
Frage:
Ist wirklich bei 3) --> arcsin( e^(-x²) ) gemeint???

Glaub ich fast nicht, das wäre eine sehr schwere Aufgabe. Bzw. geht das überhaupt vernünftig?

4.) und 5.) sehen auch nicht so schön aus.
Ist das noch Abitur? Wenn ja dann viel Spaß bei der Prüfung.

Also ich hoffe mal, dass das kein Schulniveau ist, ansonsten Respekt

Das sieht jetzt nach höherer Mathematik aus und das ist es auch fast. Ich habe hier die Kettenregel mal in ihrer schönsten Form angewendet. In der Schule bekommt man sowas natürlich kaum zu sehen.
Ein anderer Weg ist mir nicht eingefallen.

4)
Die 1. Ableitung löst man mittels der Kettenregel, und zwar in 4facher Anwendung.

Also wir haben:
y = ln( sin( e^cos(x) ) )
Ableitungen werden ja immer geschrieben als: y' = dy/dx, wobei y die Funktion und x die Variable nach der abgeleitet werden soll ist.

Zuerst ein paar Ersetzungen:
sin(e^cos(x)) = k --> y=ln(k) --> dy/dk = 1/k

e^cos(x) = l --> k = sin(l) --> dk/dl = cos(l)

cos(x) = z --> l = e^z --> dl/dz = e^z

und dz/dx = - sin(x)

nun ist: y' = dy/dk*dk/dl*dl/dz*dz/dx (wenn man das alles kürzt, erhält man wieder unser y'=dy/dx)
-->
y' = -sin(x) * e^z * cos(l) * 1/k (jetzt alles einsetzen)

y' = -sinx * e^(cosx) * cos(e^(cosx)) * 1/ sin(e^cos(x))

y' = -sinx * e^(cosx) * cos(e^(cosx)) / sin(e^cos(x))
--> cos/sin = cot (CoTangens, also das Reziproke zum Tangens)

y' = -sin(x) * e^(cos(x)) * cot(e^cos(x))

Die 2. Ableitung lasse ich jetzt mal, denn die wird sehr lang. Du kannst die aber mittels Produktregel und Quotientenregel (cot=cos/sin) lösen. Wenn du da Hilfe brauchst, oder das Ergebnis sage bitte Bescheid.

Ok, jetzt zur 5).

Ich denke nicht, dass du die komplett selbst lösen sollst.
Was man überall nachschauen kann ist folgendes:
(arctan(x))' = 1/(x^2+1). Das bedeutet also, dass die Ableitung von arctan bekannt ist.

Nun zur Funktion:
Wir wenden die Kettenregel an (einfache Form), also innere Ableitung mal äußere Ableitung.
Die Ableitung von (1+x)/(1-x) ist 2/(x - 1)^2 (mittels Quotientenregel berechnen).
-->
z = (1+x)/(1-x)

(arctan((1+x)/(1-x)))'
= (arctan(z))'
= z' * arctan(z)'
= 2/(x - 1)^2 * 1/(1+ z^2)
= 2/(x - 1)^2 * 1/( 1 + ((1+x)/(1-x))^2 )
alles ausrechnen
= 1/(x^2 +1)

2.Ableitung

also 1/(x^2+1) abgeleitet bekommst du jetzt nach dem ganzen Kurs bestimmt alleine (Tipp: Quotientenregel) hin.

ähm, e ist die Eulersche Zahl.

z.B. gilt ln(e) = 1.

e = 2,718281828...

und bist du sicher, das die Aufgabe 3) richtig ist. Die ist nämlich ziemlich schwierig.

ln() ist der Natürliche Logarithmus, also der Logarithmus mit der Basis e (EUELERsche Zahl)

wenn man das genau betrachtet ist das nicht soooo schwer

Wie immer mit Kettenregel

d/dx * exp(-x^2) = - 2·x·exp(- x^2)

d/dz * arcsin(z) = 1/ √ (1-z^2)

e^x = exp(x)

ist ne andere schreibweise für die Exponentialfunktion.

--> http://forum.abi-pur.de/thread.php?threadid=642&boardid=11

z = exp((-x)^2)

--> 1.Ableitung = z' * arcsin(z)'

arcsin(z)' = 1/ √ (1 - z^2)

Die Ableitung ist ein Grundintegral genommen aus einem Tafelwerk. Die kann man auch über die ersatzfunktionen der harmonischenfunktionen herleiten. Das ist aber noch ein haufen mehr arbeit.

ok jetzt mal zur 3)

In einer Formelsammlung kann man nachschlagen, dass von acrsin(x) die Ableitung 1/√ (1-x^2) ist.

Nun zur Funktion:
Wir leiten wieder mit der Kettenregl ab, also innere Ableitung mal äußere Ableitung.
z = e^(-x^2) --> z' = -2*x*e^(-x^2)

(arcsin (e^-x²) )'
= (arcsin(z))'

= z' * arcsin(z)'

= -2*x*e^(-x^2) * 1/√ (1-z^2)

=-2*x*e(-x^2) / √ (1 - ( e^(-x^2) )^2 )

Die 2. Ableitung kann man dann wieder mit normaler Quotientenregel und Produktregel lösen.

Euch von sowas noch eine 2. Ableitung machen lassen ist schon irgendwie fies.

Ist das noch Mathe LK Sekundarstufe 2 oder was anderes?

Welches Bundesland?