Der Differentialquotient dh/dt beschreibt die Momentangeschwindigkeit des Schwingers. Charakterisieren sie (ohne Rechnung) die Stellen der Funktion h, an denen die Momentangeschwindigkeit einen lokalen Extremwert annimmt.
dh/dt ist nur eine andere Schreibweise für h' .
h(t)= 5*e^(-0,25t) * cos t
Hat von euch einer ne Ahnung, wie man das macht?
Wenn man sich h(t) anschaut, sieht man, dass die Funktion zusammengesetzt ist aus einer e-Funktion und einer Cosinus-Funktion. Für den periodischen Verlauf und auch für die Extremwerte zeichnet sich die Cosinus-Funktion verantwortlich. Man kann sich das so vorstellen, als wenn es eine normale cos(t)-Funktion wäre, deren Amplitude sich allerdings wie eine 5*e^(-0.25)-Funktion verhält.
h(t) ist die Auslenkunsfunktion eines Schwingers, da dh/dt ja die Momentangeschwindigkeit sein soll. (ds/dt = v)
Wenn man das ganze analog zu einem Pendel betrachtet, wann ist da die Geschwindigkeit maximal und wann minmal?
Maximal ist die Geschwindigkeit, genau zw. 2 Auslenkpunkten, also im Wendepunkt, minimal dagegen, genau an den Auslenkpunkten.
Minimale Geschwindigkeit beudet hier aber dh/dt = 0, also kein Extremum. Die Extremas sind bei dh/dt in positiver Achse die positive max. Geschwindigkeit, in neagtiver Achse die negative max. Geschwindigkeit (z.B. beim Zurückschwingen). Die Extremas einer Ableitung liegen aber genau an den Stellen, wo die Ausgangsfunktion ihre Wendepunkte hat. (In Analogie zum Pendel ist das sehr einleuchtend)
Wie brauchen jetzt nur noch von h(t) die Wendepunkte zu bestimmen. Diese liegen allerdings wg. der Cosinus-Funktion fast (oder genau, hab das jetzt nicht nachgeprüft) in der Mitte zw. 2 Extremas von h(t).
Die Extremas von h(t) lassen sich so natürlich nicht angeben, allerdings denke ich reicht diese Argumentation schon aus, da du ja die Stellen nur charakterisieren solltest, und nicht berechnen.
Folglich liegen die Extremas von dh/dt in der Mitte der Extremas von h(t), nämlich bei den Wendepunkten von h(t).
Danke!
Boah da hätte ich auch selber drauf können, dass die Extremstellen der ersten Ableitung die Nullstellen der zweiten sind. *lichtaufgeh*
