Quadratische Funktionen

    Hallo!


    Ich bräuchte einmal eure Hilfe bei quadratischen Funktionen, genauer gesagt bei der quadratischen Ergänzung.
    Irgendwie komme ich da immer mit den Vorzeichen durcheinander.


    Z.B: (ein ganz einfaches Beispiel)


    f(x)=2x²+6x+14
    = 2(x²+3x+7)
    = 2(x²+3x+/- 1,5²+/- 1,5²+7)
    = 2(x+/- 1,5)²+9,25/-4,5
    Ich hoffe da blickt man jetzt so halbwegs durch *g*


    Wann kommt denn da jetzt welches Vorzeichen? ?(


    Wär nett, wenn ihr mir helfen könntet!


    Bye Karin

    Hi


    Ja, man blickt durch :)


    f(x)=2x²+6x+14
    = 2(x²+3x+7)


    = 2(x²+3x + 1,5² - 1,5²+7)
    Hier ist es egal, vor welches 1,5² du ein + bzw ein - machst. Wichtig ist, dass beide nicht gleich sind, denn du hast ja nur erweitert. Wenn sie sich nicht gegenseitig aufheben würden, dann hättest du eine andere Gleichung.


    = 2( [x²+3x + 1,5²] + 7 - 1,5²)
    Den Term in der Eckigen Klammer fasst du dann über die Binomische Formel zusammen. Und klammerst den konstanten Rest aus.
    = 2(x + 1,5)² + 11,75


    Ein minus in der zu quadrierenden Klammer kann nur "entstehen" wenn der lineare Term (3x) negativ ist.
    Wenn du unsicher bist mach einfach die Probe durch nochmaliges Ausquadrieren. Aber ich denke wenn du das 2-3mal gemacht hast wirst du sowas auf Anhieb sehen.


    Wenn noch Fragen sind, dann weißt du ja wo wir sind. :)

    Hallo!
    Danke erst mal!
    Aber ich hab noch ne Frage :D
    Irgenwie hab ich das so in Erinnerung dass bei dem letzten Teil (also +7-1,5²) das Minus da stehen bleiben muss, also praktisch +7-2,25 weil sich das doch sonst nicht aufhebt oder? ?(


    Bye Karin

    Nein der Term -1,5² muss nicht extra stehen bleiben. Du kannst ihn auch mit den 14 bzw 7 zusammen fassen. Damit erhältst du ja keine andere Gleichung.


    Aber eventuell möchte eure Lehrerin bzw. euer Lehrer, dass ihr es so aufschreibt. Ich persönlich sehe aber keinen Sinn drin, denn Mathematische Formlen sollten immer so kurz wie möglich geschriebn werden und da wäre so ein Term unschön (es sieht auch besser aus, wenn du die konstanten Terme zusammenfässt ;) ).

    Ich weiß was du meintest.
    und im Prinzip hast du recht, aber du hast einen Fehler gemacht
    Deine Gleichung lautet:
    f(x)=2x²+6x+14 = 2(x²+3x+7)
    und nicht
    f(x)=2(x²+3x) + 7


    Das heißt du hast nachher als konstanten Term +11,75 und nucht +4,75


    Denn 2*7-1,5² = 11,75.
    Vergiss nicht das du die 2 ausgeklammert hattest!

    Hallo nochmal!


    Ich mach schon den ganzen Nachmittag irgendwelche Übungen und kann's immer noch nicht ;(


    Irgendwann nach tausendmal nachrechnen komm ich auf die richtige Lösung, aber soviel Zeit hab ich bei der Klausur nicht :(
    Bei dieser Aufgabe kommt bei mir immer das falsche raus:
    Also gegeben ist die Scheitelpunktform und man soll in die Normalform umwandeln.


    f(x)= -0,5(x-2)²+4,5


    Als Ergebnis bekomm ich dann: f(x)= -0,5x²+2x+2,5


    Wenn ich das dann nochmal zur Probe rückwärts rechne passt es nicht...
    Dann kommt da raus: f(x)= -0,5(x-2)²+2,5
    Das kommt da nur raus, weil ein Vorzeichen nicht passt. Nämlich, wenn man die binomische Formel auflöst: x²-4x+ 4 wenn da -4 ständ würde es passen...
    Was hab ich denn falsch gemacht ?(

    Also f(x)= -0,5x²+2x+2,5 ist richtig!


    Ich kann auch nicht verstehn wo du bei der Rückumformung einen Fehler machst. Schreib dir mal alle schritte untereinander auf. Bei der Rücktransformation gehst du dann nur in umgekehrter richtung. Die Gleichungen müssen dieselben sein. (Außer du nimmst einen komplett anderen weg)

    Also:


    f(x)= -0,5x²+2x+2,5
    = -0,5(x²-4x-5)
    = -0,5(x²-4x+2²-2²-5)
    = -0,5[(x-2)²4-5]
    = -0,5[(x-2)²-1]
    = -0,5(x-2)²+0,5


    So... jetzt hab ich +0,5 raus, wird ja immer besser :D
    Eigentlich müsste da ja nur -4-5 stehen, aber dann hätte ich ja zweimal -2² genommen oder?


    Also kar!n was machst du denn nur? Sieht ja fast mehr nach raten aus als nach rechnen.


    Nunmal ganz in Ruhe:


    f(x)= -0,5x²+2x+2,5
    = -0,5(x²-4x-5)
    = -0,5(x²-4x+2²-2²-5)
    Was bitte machst du hier?
    Du erweiterst mit 2² das ist richtig. Rechnen tust du aber nicht so, sondern wie folgt:
    = -0,5(x²-4x+2²+(-2)²-5)
    Wenn es dir schwerfällt das zu unterscheiden, dann erweiter lieber mit 4 anstatt 2². Denn durch deine falsche Rechnung mit dem 2² geht das wichtige - verloren.


    Also entweder
    = -0,5(x²-4x+2²-(2)²-5)
    oder
    = -0,5(x²-4x+4 - 4-5)


    = -0,5[(x-2)²-9]
    = -0,5(x-2)²+4,5

    Ok, so weit so gut.
    Jetzt hab ich noch ne frage:


    Wie bringt man die Funktion (also ax²+bx+c) in die Nullstellenform?
    Irgendwie mit der 3. Binomischen Formel aber ich hab keine Ahnung wie ich das anstellen soll.

    3. binomische Formel:
    (a+b)(a-b) = a^2 - b^2


    Das bringt dich aber nicht wirklich weiter, denn das ist eine spezielle Form der Lösung.
    Algemein ist die Nullstellenform
    (x-a) * (x-b) = y (NST bei a und b)


    Im Prinzip klammerst du also nur die einzelnen NST aus.
    Dafür musst da allerdings wissen welche Nullstellen die Funktion hat. Bei eine Quadratischen Funktion würde eine NST reichen, die andere ergibt sich dann.
    Das kannst du entweder durch probieren erreichen (nur sinnvoll wenn niedrige ganzzahlige Lösungen (ca. -4 bis 4) zu erwarten sind).
    Ansonsten musst du die Lösung(en) mit der Quadratischen Lösungsformel bestimmen (es gibt auch noch andere Verfahren, aber das ist kein Schulstoff).

    Achso.
    War das nicht das mit der pq-formel? ?( Oder hab ich das falsch in erinnerung?


    Wir haben gestern die Mathe-Klausur geschrieben, bzw. alle außer mir, weil ich mit 39 fieber im bett lag und der hatte uns vorher gesagt dass 20% der Arbeit aus Sachen besteht, die wir noch nie hatten.
    Da hat meine Freundin mir erzählt dass sie was in die Nullstellenform bringen mussten.
    Ich krieg natürlich nicht die selbe Arbeit zum Nachschreiben, aber vielleicht muss ich auch sowas machen.
    Allerdings kann es nicht allzu kompliziert sein, weil wir keinen Taschenrechner benutzen dürfen...


    Wenn ich jetzt eine Nullstelle hätte, wie käme ich denn dann auf die andere?

    Ja das war die "pq-Formel"


    x12 = -p/2 +- sqrt( p²/4 - q)


    Die Nullstellen bekommst du so immer raus. Aber wenn du eine NST ausgeklammert hast steht auf der anderen seite der Rest


    Die beste Variante ist die Polynomdivision, die ihr aber sicher noch nicht hattet.
    Ansonsten kenn ich jetzt auf die schnelle keien andere Variante :(

    Zitat

    Original von Cepheiden
    Find ich gut das eurer Leher das so macht

    Ich nicht :D
    Wenn ich mit Taschenrechner rechne bekomm ich meistens das richtige raus.
    wir müssen alles mit Brüchen machen, was ich im Prinzip auch kann, aber irgendwie verrechne ich mich dann doch immer...

    Du sollst dich ja anstrengen udn nicht alles hirnlos in eine Maschine eingeben. :)


    Außerdem ist es gut das bei solch einfachen Aufgaben kein TR benutzt wird. Je eher und mehr man das arlaubt desto schlechter werden die Schüler. Und Bruchrechnung scheint eh immer ein Knackpunkt zu sein. Deswegen befürworte ich das sehr.


    Übrigens an der uni ist es auch oft nicht erlaubt einen TR zu benutzen. Ein Grund ist, weil man nicht kontrollieren kann wer welchen Rechner hat und was er kann. Somit werden manche Studenten bevorteilt.
    Jeweniger Hilfsmittel desto besser. Natürlich müssen die Aufgaben an diesen Umstand angepasst sein.