Bruchterme und Bruchgleichungen

Hi,
also denn werde ich mal versuchen das Kürzen zu erklären.

Die Grundregel ist eigentlich, dass, wenn man den Zähler und den Nenner durch die gleiche Zahl dividieren kann, dann kann man auch kürzen. Das passiert dann, in dem man durch dieses Zahl eben dividiert.

Bsp.
18 / 20
--> sowohl 18 als auch 20 kann man durch 2 teilen
--> Kürzen in dem man beide Zahlen durch 2 teilt
--> 9 / 10
--> da man beide Zahlen nicht weiter durch eine Zahl teilen kann, kann man auch nicht weiter kürzen

Bsp.
15 / 30
--> sowohl 30 als auch 15 kann man durch 3 oder 5 oder dadurch auch durch 3*5 = 15 teilen
--> Kürzen in dem man Zähler + Nenner durch die entprechende Zahl teilt
--> Ergebnis: 5 / 10 (weiter kürzen durch 5 --> 1/2)
oder
--> 3 / 6 (weiter durch 3 teilen --> 1/2)
oder
--> 1 / 2 (wenn man gleich durch 15 teilt)

Eine Erklärung von Brüchen findest du hier:
http://www.mathematik-wissen.de/bruchzahlen.htm
So in der Mitte findest du auch was zum Kürzen.

Und hier kannst du üben:
http://www.realmath.de/Neues/Klasse6/kuerzen/kuerzen.html

Also du kannst es ja mal hier probieren http://de.wikipedia.org/wiki/Bruchgleichung oder deiner Mutter den Zettel ablucksen

8y² - 18yx / 16y² - 72yx + 81x²

Naja in diesem beispiel ist es ja auch sinlos auszuklammern

Besser wäre z.B.
(5x²-27x) / (217x³-4x) :]
... denn hier kann man oben ja x ausklammern 5x²-27x...
also x(5x-27)/ (217x³-4x)...
und unten 217x³-4x...
x(5x-27)/
x(217x²-4)
hier kann man x wegkürzen also
1(5x-27)/
1(217x²-4)
und das ist dann das selbe wie
(5x-27)/(217x²-4)

Man hätte auch x² wegkürzen können, dieser Parameter hätte aber wiederum in allen zahlen vorkommen müssen...

hoffe das hat dir soweit geholfen

crazy_bibi:

versuche bitte beim nächsten mal Klammern zu setzen, weil eigentlich Punktrechnung vor Strichrechnung kommt.

das
8y² - 18yx / 16y² - 72yx + 81x²
müsste also

(8y² - 18yx) / (16y² - 72yx + 81x²)

lauten

sventestic hat das ja aber so erkannt und alles schön erklärt.

Wenn du trotz der Erklärung mit deinen Hausaufgaben nicht weiter kommst, dann schreibe die (oder einen Teil) einfach mal hier rein und dann erklärt dir einer das anhand deiner Hausaufgabe.

ok, dann mache ich das mal schrittweise:

1)
(ax+bx+ay+by) / (ax+bx-ay-by) dort ist dein Ergebnis falsch.

richtig geht das so:

(ax+bx+ay+by) / (ax+bx-ay-by) =

( (a+b)(x+y) ) / ( (a+b)(x-y) ) --> jetzt kann man durch (a+b) kürzen

= (x+y) / (x-y)

Man darf aus Summen oder Differenzen nicht kürzen, d.h. dein Schritt von der 2. Zeile zur 3. ist falsch.

Was du machen könntest wäre, wenn du in der 2. Zeile jetzt noch (a+b) ausklammerst (sowohl im Zähler als auch im Nenner).

Dann würde genau das
( (a+b)(x+y) ) / ( (a+b)(x-y) ) stehen. Jetzt darfst du kürzen, weil zwischen (a+b) und (x+y) bzw (x-y) ein Malzeichen steht, also ein Produkt.

die 2. Aufgabe ist leider auch falsch:

(3bu+3du-5bx-5dx)/(6au-10ax+6du-10x)

Jetzt überlegt man, was ist im Zähler und Nenner gleich?
Im Zähler haben wir b,d,u,x und im Nenner a,d,u,x.

Also müssen wir versuchen u und x auszuklammern.

Da aber z.B. im Zähler 3bu und 5bx sowie 3du und 3dx steht, dürfen die Zahlen nicht beim b und d bleiben, sondern müssen zum u und x.

Also:
(3bu+3du-5bx-5dx)/(6au-10ax+6du-10x) =

( (b+d)(3u-5x) ) / ( (a+d)(6u-10x) ) --> im Zähler kann man noch eine 2 ausklammern

= ( (b+d)(3u-5x) ) / ( (a+d)(3u-5x)2 ) --> jetzt kann man (3u-5x) kürzen

= (b+d) / ( 2(a+d) )

3c) ist ebenso falsch.

Nochmal:
Du darfst aus Summen oder Differenzen nicht kürzen!!!

von der 2. zur 3. Zeile machst du wieder diesen Fehler.

Du kürzt bei a 9 gegen 6 und bei b die 16 gegen die 8. Das darf man nicht, weil die Teile mit a und b durch eine Minuszeichen verbunden sind. Und das sowohl im Zähler als auch im Nenner.

Man darf nur Teile kürzen, die durch eine Multiplikation oder durch eine Division verbunden sind. Und dann auch nur die ganzen Teile kürzen.

Also:
(a + c) / (a+b) = c/b ist falsch. Genauso

(9a+ 10c) / (3a + 5c) = (3a + 2c) / (a + c) ist auch falsch.

richtig ist:

( (a+b)*(c+d) ) / ( (a+b)*(e+f) ) = (c+d)/(e+f)
hier wurde der Teil (a+b) gekürzt, weil er im Zähler UND im Nenner mit den anderen Teilen (c+d) bzw. (e+f) durch eine Multiplikation verbunden ist.

Es gibt einen schönen Merksatz für sowas (bitte nicht böse sein, ist nur gut gemeint.)
Aus Differenzen und Summen kürzen nur die Dummen.

Also wie geht 3c) richtig:

(9a[UP]2[/UP] - 16b[UP]2[/UP]) / (6a - 8b) --> im Zähler und Nenner Teile "bauen" die ein Produkt bilden, also durch die Multiplikation verbunden sind.

( (3a + 4b)*(3a-4b) ) / (2*(3a-4b) ) --> jetzt kann man wieder durch (3a-4b) kürzen

= (3a+4b) / 2

3d) ist leider auch nicht ganz korrekt.
Der Fehler ist der gleiche wie schon beschrieben.

Die Aufgabe ist aber auch etwas schwieriger.

Hier muss man mit dem Nenner anfangen. Du siehst, dass es ein y[UP]2[/UP], ein x[UP]2[/UP] sowie einen xy-Term gibt. Außerdem stehen vor dem y[UP]2[/UP] und dem x[UP]2[/UP] Quadratzahlen.
Daraus kann man schließen, dass das ganze ein Quadratischer Term ist, also in der Form (a+b)[UP]2[/UP]

Also:

(8y[UP]2[/UP] - 18yx) / (16y[UP]2[/UP] - 72xy + 81x[UP]2[/UP]) =

(8y[UP]2[/UP] - 18yx) / (4y - 9x)[UP]2[/UP] --> im Zähler 2y ausklammern

= ( 2y*(4y[UP]2[/UP] - 9x) ) / (4y - 9x)[UP]2[/UP]

= 2y / (4y - 9x)

4. Bild, Nr e)

die Aufgabe ist auch schwierig:

(72x[UP]2[/UP] - 128y[UP]2[/UP]) / (6x[UP]2[/UP]y - 8xy[UP]2[/UP] ) --> erstmal alles durch 2 teilen

= (36x[UP]2[/UP] - 64y[UP]2[/UP]) / (3x[UP]2[/UP]y - 4xy[UP]2[/UP] ) --> Zähler aufspalten

= ( (6x+8y)*(6x-8y) ) / (3x[UP]2[/UP]y - 4xy[UP]2[/UP] ) --> im Nenner xy ausklammern, im Zähler 2*2 ausklammern

= ( 2*(3x+4y)*2*(3x-4y) ) / ( (3x - 4y)xy ) --> kürzen

= ( 2*2*(3x+4y) ) / (xy)

Die letzte Aufgabe erkläre ich etwas später. Ist aber auch nicht korrekt. Falls du es noch mal selbst rechnen möchtest:
Die Lösung ist dort - 1/20.

na ich werde erstmal Abendbrot essen und dann mal kann ich dir ja die letzte Aufgabe noch erklären, wenn du möchtest

mal ein Hinweis:

Nenner 2. Term: (15p + 10) --> 5(3p + 2)

Nenner 3. Term: (12p - --> 4(3p - 2)

Hauptnenner von 2. und 3. Term --> 20(9p[UP]2[/UP] - 4)

Nenner 1. Term (18p[UP]2[/UP] - --> 2(9p[UP]2[/UP] - 4)

-->

Hauptnenner insgesamt: 20(9p[UP]2[/UP] - 4)

also:

wenn du den Hauptnenner 20(9p[UP]2[/UP] - 4)gebildet hast,

dann steht da imm Zähler:

(3p[UP]2[/UP]+1,5p-3)*10 - (2p+3)*4*(3p-2) - (p-1)*5*(3p+2)

blau sind die Ausgangsterme und rot sind die Faktoren, die durch den Hauptennner hinzukommen.
Ausmultipliziert:

10(3p[UP]2[/UP]+1,5p-3) - 4(6p[UP]2[/UP]+5p-6) - 5(3p[UP]2[/UP]-p-2)

Weiter dann:

30p[UP]2[/UP] + 15p - 30 -24p[UP]2[/UP] - 20p +24 -15p[UP]2[/UP] + 5p +10

Wenn man das alles zusammenfasst, dann steht im Zähler nur noch: -9p[UP]2[/UP] + 4

Damit erhält man dann also (das Minus ausklammern):

-(9p[UP]2[/UP] - 4) / (20(9p[UP]2[/UP] - 4) ) = -1/20