Vertauschbarkeit

    Hi Leute muss ein Referat halten und hänge an folgender Stelle: Muss eine unendliche Reihe gliederweise Integrieren und dann aufsummieren, brauche aber dafür erstmal die Regeln (oder Gesetze) bei dennen Summation und Intedration vertauscht werden können um zu prüfen ob das in meinen Fall überhaupt geht... wisst ihr wo ich die Gesetze finden könnte???
    Danke für eure Mühe im Vorraus

    ich weiss auch nicht genau, was du meinst?


    vielleicht die linearitätseigenschaft des integrals?
    dh:
    1) ∫ a*f(x) dx = a*∫ f(x) dx [Homegenität des Integrals]
    2) ∫ f(x)+g(x) dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx [Additivität des Integrals]


    Also insgesamt:


    ∫ a*f(x)+b*g(x) dx = a*∫ f(x) dx + b*∫g(x) dx [Linearität]


    du kannst ja mal danach googeln und eben nochmals fragen, falls du danach gesucht hast...!

    Nein, ich denke er meint was anderes und zwar:


    Angenommen deine Funktionsreihe ist ∑[UP]∞[/UP]n=0 fn(x) auf dem Intervall [a,b] gleichmäßig konvergent und fn ist auf [a,b] stetig.


    Dann kannst du Integration und Summation vertauschen,


    also
    ∫[UP]b[/UP]a ∑ [UP]∞[/UP]n=0 fn(x) dx = ∑[UP]∞[/UP]n=0 ∫[UP]b[/UP]a fn(x) dx


    Wenn du nicht weißt was gleichmäßig konvergent bzw. stetig bedeutet, dann kann ich dir das gerne erklären


    (Stetig ist z.B. einfach gesagt eine Funktion die keine Polstellen hat bzw. Sprünge. So ist z.B. f(x) = 1/x unstetig. Taucht so eine Funktion in deiner Reihe auf, kannst du die Vertauschung nicht durchführen)

    Zitat

    Aber was genau ist gleichmäßig konvergent???


    Huh, da habe ich ja meinen Mund weit aufgemacht.
    Ich weiß zwar was es ist, aber merke gerade, dass ich nicht weiß, wie man es einfach erklären kann.


    Ein komplizierte (dafür exakte Definition) findest du z.B. hier:
    http://www.math.uni-siegen.de/…tes/ANAOnline/node79.html
    Das wichtigste ist dort der Satz 4 . (Bem: d.u.n.d. heißt --> dann und nur dann)


    Allerdings hat man sowas erst im Studium und nicht in der Schule.


    Vielleicht kann man das so verstehen, dass deine Reihe keine Sprünge aufweist. Wenn das ∑[UP]∞[/UP]k=0 fk(x) deine unendliche Reihe ist (Achtung, ich habe mal n jetzt k genannt), dann sollte die Partialsumme sn = ∑[UP]n [/UP]k=0 fk(x) keine "Sprünge" haben. So wäre also eine Reihe, deren Partialsummen +1,-1,+1,-1,+1,-1, usw. liefert, nicht gleichmäßig konvergent.


    Mal ne Frage: Hattet ihr vielleicht Zahlenfolgen bzw. Funktionsfolgen im Unterricht und dort vielleicht Konvergenz behandelt?

    Hey, also Konvergenz haben wir nie so richtig im Unterricht behandelt. Jeder von uns soll ja auch ein Thema selber erarbeiten, dass wir im Unterricht nicht oder nur ein bisschen behandelt haben.
    Aber ich sollte jetzt die Regeln sowieso nicht alzu ausführlich behandeln, sondern nur nennen und kurz erklären, von daher müsste das was du mir geschrieben hast schon ausreichen.. aber ich guck auch noch mal in den Link rein den du beigefügt hast.
    Auf jeden Fall danke für deine Mühe :)