Kurvendiskussion

    Hi,


    hoffe mir kann jemand helfen.


    Gegeben ist die Funktion f(x)=4*e^x / (e^x+1)²


    Untersuche k auf Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen,Extrem - und Wendepeunkte.


    Erstmal die beiden Ableitungen:
    u(x)=4*e^x
    v(x)=(e^x+1)²=(e^x)²+2*e^x+1
    u'(x)=e^x
    v'(x)=2e^x+e^x
    f'(x)=e^x*((e^x)²+2*e^x+1)- 4*e^x *(2e^x+e^x) : den gesamten Ausdruck dann geteilt durch (e^x+1)²=(e^x)²+2*e^x+1


    Stimmt das so?Wenn es falsch ist lohnt es sich ja nicht weiterzumachen da dann alles andere falsch wird.Was kann man noch vereinfachen?


    Zu den Schnittpunkten:
    4*e^x / (e^x+1)²=0
    4*e^x =0
    e^x=0
    x=ln0--> geht ja irgendwie nicht

    Bist du sicher,dass bei u'(x) die 4 stehen bleibt und nicht wegfällt?


    Dann wäre es ja:
    u(x)=4*e^x
    v(x)=(e^x+1)²=(e^x)²+2*e^x+1
    u'(x)=4 e^x
    v'(x)=2·e^(2·x) + 2·e^x


    f'(x)=[ 4* e^x * (e^x)²+2*e^x+1 ] - [ 4*e^x * 2·e^(2·x) + 2·e^x ] dann geteilt durch [(e^x+1)^4]


    Jetzt müsste das doch dann stimmen oder?Wie kann man das noch etwas vereinfachen?

    100%sicher



    bei 4x kommt ja auch 4 raus und nicht 1 oder 0.


    Ja da kann man noch ein paar sachen zusammen fassen und Zähler und Nenner kürzen, so dass im Nenner (e^x+1)^3 steht


    Warum die Ableitungen falsch sind ist dir klar?

    genau, es geht nicht. Das ist richtig. Das bedeutet also, das die Funktion keinen Schnittpunkt mit der x - Achse hat. Aber die Aufgabenstellung lautet ja, die solltst auf Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen untersuchen.


    Also jetzt noch die y-Achse. Und da gibt es einen. 100%. ;)

    da setze ich dann ja x=0 und bekomme dann:
    e^0=0
    1=0


    Der SP mit der y-Achse müsste dann ja (0/1) sein.Richtig?



    Dann die Extremstellen:
    e^x*((e^x)²+2*e^x+1)- 4*e^x *(2e^x+e^x) = 0


    Da müsste mir jetzt mal jemand helfen mit dem zusammenfassen.

    Zitat

    e^0=0
    1=0


    Das ist ja eine falsche Aussage, die besagt dass die Funktion e^x bei x=0 nicht die y-Achse berührt oder schneidet


    Der Schnittpunkt (0/1) ist richtig, aber nicht aus dem von dir genannten Grund. Zur Bestimmung der Schnittpunkte mit den Achsen, brauchst du immer nur die Funktion f(x).


    Bei dem Schnittpunkt mit der x-Achse setzt man f(x) = 0 und stellt dann nach x um (wenn es geht) udn für die y-Achse nimmt an f(x=0) = y und rechnet einfach den wert aus.


    f(x)=4*e^x / (e^x+1)²


    f(x=0)=f(0) = 4*e^0 / (e^0+1)² = 4*1/(1+1)² = 4/4 = 1


    --> Schnittpunkt (0/1)


    Die 1.Ableitung hat im Prinzip 3 Nullstellen.
    * Eine bei x=0 (wie du richtig berechnet hast)
    * und je eine bei plus und minus unendlich


    Denn die Funktion konvergiert daher für plus bzw. minus unendlich gegen 0 (Zählerterm wächst langsammer als Nennerterm)

    Da Cepheiden schneller war als ich ( ;( ) poste ich nur noch meinen Rest.


    wenn du u'v - v'u ausrechnest kommt da im Zähler


    -4e[UP]3x[/UP] + 4e[UP]x[/UP] raus.


    v² ist ja (e[UP]x[/UP] + 1)[UP]4[/UP] (hier ist es besser (e[UP]x[/UP]+1)[UP]2[/UP] nicht aufzulösen.


    Also lautet deine Ableitung
    f'(x)= -4e[UP]3x[/UP] + 4e[UP]x[/UP] / (e[UP]x[/UP] + 1)[UP]4[/UP]


    Das kann man noch veinfachen. Im Zähler (e[UP]x[/UP]+1) ausklammern ergibt -4e[UP]3x[/UP] + 4e[UP]x[/UP] = (e[UP]x[/UP]+1)*(-4e[UP]2x[/UP]+4e[UP]x[/UP])
    Außerdem kann man im 2. Term dann 4e[UP]x[/UP] ausklammern


    Dadurch kann man im Nenner dann kürzen.


    Außerdem kann man im Zähler im 2. Term dann 4e[UP]x[/UP] ausklammern


    Das ergibt also für deine Ableitung:
    f'(x) = 4e[UP]x[/UP](1-e[UP]x[/UP]) / (e[UP]x[/UP]+1)[UP]3[/UP]

    du musst schon beide seiten mit der gleichen Mathematischen Operation beghandeln (also beide Sieten logarithmieren) ansonsten machst du die Gleichung "kaputt".
    Du machst das ja auch beim "rüberzeihen"


    0=e^x - e^2x = 0
    -->
    0+e^2x = e^x - e^2x + e^2x
    -->
    e^2x = e^x

    e^x-e^2x logarithmiert wäre


    ln(e^x-e^2x) denn Summen kannst du nicht auseinanderreißen beim logarithmieren (siehe Logarithmusgesetze)


    Ich hatte dir doch gescheieben wie du zur Lösung kommst. Glaub mir doch einfach und mach das :)