Linearfaktoren?

    halli hallo!!Ich habe ein problem
    Unzwar ist eine Aufgabe gestellt und ich weiß net genau was sie von mir wollen!!!
    Also die aufgabenstellung lautet:


    Berechnen sie die Nullstellen der funktion f und zerlegen sie den Term f (x) in Linearfaktoren.Untersuchen Sie das Verhalten von f für xpfeil+/- oo.Skizzieren sie mit hilfe dieser ergebnisse den Verlauf des Graphen von f.


    Nun...
    Eine Aufgabe lautet f(x)=x^3-x^2-2x


    Jetzt habe ich natürlich erstmal die Nullstellen dieser Funktion berechnet indem ich die polynomdivision angewandt habe und hatte somit die reduzierte funktion f(x)=x^2-2x rausbekommen und die Nullstellen N1=-1
    N2=0 N3=2


    so was ich jetzt nich verstehe ist wie soll ich den term in linearfaktoren zerlegen?was bedeutet das Linearfaktoren???Und wie soll ich das verhalten von f für xpfeil+/- oo untersuchen??Was bedeutet eigentlich xpfeil+/- oo????????



    ich weiß irgendwie nicht was ich machen soll


    ich wäre euch sehr dankbar wenn ihr mir helfen könntet


    DANKE SCHON IM VORAUS
    MFG ALISHA

    Hallo,


    willkommen im Forum und sorry für die späte Antwort.
    Normalerweise sind wir etwas schneller. ;)


    Deine Nullstellen sind richtig.


    Zu der Linearfaktorenzerlegung.


    Das bedeutet, dass man die Funktion in der Form
    f(x) = (x±a)*(x±b)*(x±c)*... usw. darstellt.


    Würde man diese Zerlegung wieder ausmultiplizieren, würdest d wieder dein f(x) = =x^3-x^2-2x erhalten.
    Die maximale Anzahl der Linearfaktoren ergibt sich aus dem höchsten Grad deiner Funktion. Bei dir ist das x^3, also ist deine Funktion eine Funktion 3. Grades.
    Das heißt deine Zerlergung hat maximal 3 Faktoren. Also a,b,c.


    Das besondere ist, das man die Parameter a,b,c ganz leicht bestimmen kann. Denn das sind genau deine Nullstellen, nur mit umgekehrten Vorzeichen .


    Deine Nullstellen sind
    N1 = -1
    N2 = 0
    N3 = 2


    d.h. also, deine Linearfaktoren sind a=+1, b=0, c=-2.


    Die Linearfaktorenzerlegung von f(x) lautet damit
    f(x) = (x + 1) * x * (x - 2)


    Wenn du das wieder ausrechnen würdest, erhälst du wieder dein f(x) =x^3-x^2-2x.


    Tipp: Wenn du mal eine Funktion hast, wo eine Nullstell emehrmals (z.B. zweimal) vorkommt, dann hast du auch davon Terme in der Linearfaktorenzerlegung.
    Z.B. g(x)=x^2+2x+1 hat eine Nullstelle bei x=-1, die aber doppelt belegt ist. Daher würde die Linearfaktorenzerlegung dort g(x) = (x+1)*(x+1) lauten.



    Jetzt zum Grenzwert.
    Wenn du das Verhalten einer Funktion für x--> ±∞ untersuchen solltst, bedeutet es, dass du schauen musst, wie sieht die Funktion aus wenn x ganz groß wird im positiven Bereich (also x= 10, 100, 1000, 10000 also gegen ∞) und im negativen Bereich (also x= -10, -100, -1000, -10000 also gegen -∞)
    Der Pfeil bedeutet dabei gegen einen Wert, da man ja unendlich nie erreichen kann.


    Das Verhalten kannst du auf 2 Arten untersuchen.
    1)
    Du setzt für x große Zahlen ein, also eben 10, -10, 100, -100 und schaust, was für f(x), also was für y-Werte rauskommen.


    2)
    Durch Argumentation.
    Wenn du weißst, das eine x^3-Funktion IMMER stärker wächst, als eine x^2 oder x Funktion, dann siehst du, das der x^3-Term der dominierende ist. Er bestimmt das Verhalten der Funktion für x im unendlichen.


    Ich weiß nicht ob du schon mit Grenzwerten rechnen kannst, daher ist wohl der Weg 1 der beste für dich.


    Wenn du große positive Zahlen für x einsetzt, dann siehst du, dass y im positiven Bereich auch immer größer wird.
    Wenn du für x große negative Zahlen einstetzt, dann siehst du, dass y im negativen Bereich auch immer größer wird.


    Das Ergebnis ist also:
    für x-->+∞ geht auch f(x)-->+∞
    für x-->-∞ geht auch f(x)-->-∞


    Wenn was nicht klar ist, kann ich einzelne Schritte auch noch genauer erklären. :)