Kugel + Quader in Analytische Geometrie

    Hallo.
    Ich hab Schwierigkeiten mit einer Aufgabe und hoffe, dass vielleicht jemand meinen Denkfehler findet.
    Also ich habe 3 Vektoren:
    Vektor a=(2 1 0), Vb = (2 -4 0) Vc = (0 0 3). Diese bilden vom Ursprung aus einen Quader (dazu musste man doch nur die Orthogonalität überprüfen oder?).Jetzt soll man eine Kugelgleichung ermitteln, die durch die Quaderecken geht. Kann man durch die Vektoren davon ausgehen, dass die Punkte des Quaders A (2/1/0), B(2/-4/0) und C(0/0/3) lauten? Dann könnte man nämlich die Seitenlängen berechnen und dann mit der Gleichung √ (a[UP]2[/UP]+b[UP]2[/UP]+c[UP]2[/UP]) die Diagonale berechnen und dann hätte man doch den Durchmesser der Kugel. Also wäre d= √ (34). Ist der Mittelpunkt des Quaders dann nicht auch der Mittelpunkt der Kugel? Irgendwie komm ich so nicht wirklich weiter. Wo liegt mein Fehler?

    Also, so wie ich das lese, sollen die Vektoren schon die Seiten des Quaders sein. Also ist der Punkt A = (0,0,0), der Punkt B = (2/1/0), der Punkt D = (2/-4/0) und der Punkt E = (0,0,3). (Ja, man muss die Orthogonalität prüfen).
    Die restlichen Punkte (C,F,G,H) musst du dann noch berechnen.
    C ist z.B. Vektor a + Vektor b = (4/-3/0) usw.


    Wenn du die Punkte hast, kannst du die Raumdiagonale ausrechnen, also zB. von Punkt A bis Punkt G. Dann hättest du den Durchmesser. Und der Mittelpunkt (also dort, wo sich beide Raumdiagonalen schneiden) ist dann auch der Mittelpunkt der Kugel.
    ABER: Das mit der Kugel klappt nur, wenn der Quader ein Würfel ist. (Dazu muessen alle Seiten gleich lang sein)
    Das scheint aber nicht zu funktionieren.

    Hmm.. wenn der Quader kein Würfel ist, wie kann dann die Aufgabe verlangen, dass die Kugel durch die Ecken gehen muss? Dann ist die Aufgabe theoretisch nicht lösbar, aber das kann in diesem Fall nicht sein. ?(

    Da bin ich erleichtert. Jetzt hab ich leider aber noch nicht so ganz verstanden, wie ich die Punkte erhalte. Warum ist D z.B. nicht C? Und wieso erhält man diesen Punkt, wenn man die Vektoren addiert (ich kann mir das leider noch nicht bildlich vorstellen, wo die Punkte denn eigentlich liegen sollen und als ich das in ein Koordinatensystem eingetragen habe, lag der Punkt C irgendwo total falsch). Danke schon mal für die Hilfen!

    also die Vektoren a,b,c sind die Seiten des Quaders. Da es vom Nullpunkt ausgeht, sind es auch gleichzeitig die Ortsvektoren der Punkte.
    Und zwar:
    A = (0,0,0) (Nullpunkt)
    B = (2,1,0) (Seite a, also von A bis B --> B=Vektor a)
    D = (2,-4,0) (Seite b, also von A bis D --> D=Vektor b)
    C = a + b = (4, -3, 0)


    E = (0,0,3) (Seite c, also von A bis E --> E=Vektor c)


    Dann kannst du noch die den Punkt G berechnen, der sich aus Punkt C + Punkt E, also den Vektoren a+b + c ergibt.
    Der Vektor zum Punkt G ist ja schon deine Raumdiagonale.
    Die Hälfte davon ist dein Radius + Mittelpunkt.


    Hab mal ein Bild beigefügt.

    Danke, hab total falsch gedacht :rolleyes: . Hab als Mittelpunkt M(2/-1,5/1,5) und als Radius r= √ (34) /2. Denk mal, das ist richtig, denn ich hab das mit zwei Punkten kontrolliert.
    Leider hab ich auch mit der nächsten Aufgabestellung Verständnisprobleme. Es ist nämlich gefragt, wo die Mittelpunkte der Kugeln liegen, die 2 gegenüberliegende Quaderflächen berühren. Ist damit gemeint, dass die Kugeln im Quader liegen und somit keine anderen Seiten außer die 2 berühren? Denn sonst würden die Mittelpunkte doch auf einer Geraden liegen, oder?

    Ja ist alles richtig.

    Zitat

    Ist damit gemeint, dass die Kugeln im Quader liegen und somit keine anderen Seiten außer die 2 berühren? Denn sonst würden die Mittelpunkte doch auf einer Geraden liegen, oder?

    Ich denke so ist das gemein.

    Also, ich hab das jetzt so gemacht, dass die Mittelpunkte auf einer Geraden liegen. EABEF und ECDGH werden von der Kugel berührt, dessen Mittelpunkte auf der Geraden:
    g1: vx= (1 -2 0) + t1 * (0 0 1) liegen.
    Der Aufpunkt liegt gerade noch auf der Quaderoberfläche und kommt durch vAD * 1/2 zu Stande. Da der Quader eine Breite von 3 hat, hab ich berechnet, dass die Mittelpunkte zwischen (1 -2 0) und (1 -2 2) (auf dieser Gerade) liegen müssen. Stimmt das? So hab ich dann auch mit den anderen Ebenen weitergerechnet.

    Hmm, also ich sehe das nicht so ganz.


    Die Kugeln, die die Ebenen EABEF und EDCGH berühren müssen doch auf einer Geraden liegen, welche durch den Mittelpunkt geht.
    Dein Richtungsvektor (0/0/1) ist schon richtig, aber als Stützvektor würde ich da entweder den Mittelpunkt nehmen oder halt den Punkt (2/-1,5/0) (der ist sogar besser).


    Das ergibt dann eine Gerade die den Quader von unten nach oben durchquert. Jetzt kannst du den Abstand von der Gerade (oder halt vom Mittelpunkt) bis zu den Ebenen berechnen. Und der ist ganz einfach die Hälfte der Seite b, also √ (20) / 2 (das ist dann auch gleich der Radius der Kugeln).
    Damit kannst du dann berechnen, in welchen Bereich sich die Kugeln auf der Geraden befinden.


    Für die Seiten EADEH und EBCFG liegen die Kugeln auf der gleichen Geraden. Diese Gerade hat von den Seiten den Abstan a/2, also √ (5) / 2. Das ist dann deren Radius.

    Für die Seiten EABCD und EEFGH liegen die Kugeln auf einer Geraden die senkrecht zu der Geraden ist die oben bei den beiden Kugeln verwendet wurde. Also den Mittelpunkt als Stützvektor und als Richtungsvektor die Seite b (kannst dir ja vorstellen die in den Mittelpunkt zu veschieben)


    Ist das eigentlich die Originalaufgabe oder hast du die schon interpretiert? Weil sich für mich alles ein bisschen unklar anhört.

    Ja, das ist die Originalaufgabe (Wo liegen die Mittelpunkte der Kugeln, die zwei gegenüberliegende Flächen des Quaders berühren?). Ich finde die auch ein wenig unklar. Ich werde gleich erst mal versuchen deine Rechenweise nachzuvollziehen. Vielen Dank auf jeden Fall.

    OK, das kann ich soweit nachvollziehen :D , aber wenn man eine Gerade hat, ist diese ja unendlich lang. Wenn die Kugel aber im Quader bleiben soll, dann muss ich Gerade doch irgendwie begrenzen. Wie genau kann ich das machen?

    na das kannst du doch durch den Parameter t machen. Die Gerade ist zwar unendlich lang, aber wenn du sagst, die Mittelpunkte können sich auf der Geraden im Bereich der Parameter t1 bis t2 bewegen, dann ist das ok.

    stimmt :rolleyes: , seufz. OK eine letzte Frage. Ich habe also jetzt eine Gerade mit dem Aufpunkt (2 -1,5 0) und dem Richtungsvektor (0 0 1). Der Mittelpunkt müsste dann auf der Geraden mit 0<= t <= √ (2,75) liegen, aber dann liegt die Kugel doch eigentlich schon zur Hälfte außerhalb, ist das egal? Vielen Dank für die ganzen Hilfen :D .

    ja, ich hoffe mal das das egal ist. Anders ist es eigentlich nicht möglich. Jedenfalls fällt mir momentan nix anderes ein. Wobei halt die Aufgabe auch viele Interpretationen zulässt.

    Zitat

    Vielen Dank für die ganzen Hilfen.


    Bitte :]