Vektoraufgaben

    Hier nochmal 2 Determinantenaufgaben:


    a)


    l 16 7 9 l
    l 15 8 8 l
    l 4 5 7 l


    wäre das dann : -2 ?



    b)


    l 21 10 6 l
    l 16 8 2 l
    l 18 9 7 l


    wäre das dann: 38 ?




    Basisvektoren:


    Ich soll bei einer Aufgabe diese Basisvektoren auffassen:
    AB=a , AD=b
    Gegeben ist ein normales Rechteck,wobei es noch den Schnittpunkt E gibt ( AC und BD).


    Drücke jeweils die anderen Vektoren durch die Basisvektoren aus.


    Denke mir das so:
    BC=b
    CD=a
    AC=a+b
    BD=-a+b
    AE=0,5a
    DE=-0,5a
    CE=-0,5a
    BE=-0,5a


    Stimmt das?Habe ich noch was vergessen?

    Bei der Aufgabe mit den Basisvektoren kommt es bisschen auf die Benennung an


    Wenn die Punktbezeichnung einmal im oder gegen den Uhrzeigersinn verläuft ist das nciht ganz richtig.


    Für das Rechteck
    D-C
    A-B
    wäre



    BC=b
    CD=- a
    AC=a+b
    BD=-a+b
    AE=0,5(a+b )
    usw

    Kann mir mal jemand sagen wie diese Aufgaben hier funktionieren soll:



    Sind die folgenden Vektoren linear abhängig?
    Folgende soll Spaltenschreibweise sein.


    1.
    a= ( 8 / -4 )
    b= (-4 /2 )


    2.
    a=(2 / 0 / 6 )
    b=(1 / 0 / 3 )
    c=(1 / 1 / 1 )



    Wie bekomme ich das denn nun heraus?



    Sind die folgenden Vektoren komplanar?


    a=(6 / -1 / 5 )
    b=(7 / 9 / 3 )
    c=(-4 / 21 / -9 )
    d=(8 / 19 / 1)


    Wie mache ich das?


    Kann jemand nochmal bitte sagen ob die Aufgabe mit dem Rechteck richtig ist !? Danke

    Beim zweiten Link gibt es ja ein Beispiel für die Linearität.


    Dort sind 3 verschiedene Punkte aufgeführt und dann steht dort:


    Die drei Vektoren a = (3, 2, 1), b = (13, -2, -7) und c = (-2, 4, 5) sind linear abhängig, da b = 3a - 2c. (Rechnen Sie nach!)


    Wie komme ich denn auf b=3a-2c?

    aber ich habe doch dann:
    13b=3a-2c
    dann käme doch für b=3/13a-2/13c heraus.


    Das passt doch irgendwie nicht :(



    Wäre sehr dankbar wenn du mal eine Beispielaufgabe(mit kurzer Rechnung) für komplanar und linear abhängig posten könntest.

    oh da war ich wohl nicht bei der sache.


    Man will ja bei der Linearkombination einen Vektor durch 2 bzw 3 andere Vektoren beschreiben/ersetzen.


    Nehmen wir die Vektoren
    A = (3, 5)
    B = (1, 0)
    C = (0, 1)


    A kann als Linearkombination von B und C geschrieben werden


    A = s·B + t · C
    s und t sind Faktoren die bestimmt werden müssen.
    z.B. über ein Gleichungsystem


    3 = 1s + 0t
    5 = 0s + 5t


    --> s=3 und t=5



    Bei deiner Aufgabe sollen auch diese Faktoren bestimmt werden
    B = s·A + t·C
    usw.



    Ich denk mal du sollt nur die 3 Gleichungen einsetzen und sagen das es stimmt.

    Sind die folgenden Vektoren komplanar?


    a=(6 / -1 / 5 )
    b=(7 / 9 / 3 )
    c=(-4 / 21 / -9 )
    d=(8 / 19 / 1)


    Also bei der Komplanarität vier Gleichungen aufstellen?


    6a-b+5c=0
    7a+9b+3c=0
    -4a+21b-9c=0
    8a+19b+c=0


    Und was soll man da jetzt machen um herauszufinden aob es komplanar ist?

    Könnte ich das dann bei dieser Aufgabe:


    2.
    a=(2 / 0 / 6 )
    b=(1 / 0 / 3 )
    c=(1 / 1 / 1 )


    so machen :
    2=1s+1t
    0=0s+1t --> t=0
    6=3s+1t


    aus der ersten Gleichung: s=2
    s in 3.Gleichung einsetzen: 6=3*2 --> sind linear abhängig.


    Stimmt das so???

    Hä? nein, da hast du irgendwas falsch verstanden.


    eine endliche menge (hier 4) von Vektoren sind komplanar (auch koplanar) wenn sie in einer Ebene liegen.


    3 komplanare Vektoren sind linear abhängig.
    d.h wie vorhin schaust du ob sich ein Vektor durch 2 von den 3 anderen Vektoren darstellen läßt. geht das sind diese 3 Vektoren komplanar.


    Bsp.: für
    a=(6 / -1 / 5 )
    b=(7 / 9 / 3 )
    c=(-4 / 21 / -9 )


    a = s·b + t·c
    -->
    6 = 7s - 4t
    -1 = 9s + 21t
    5 = 3s - 9t



    Wenn du nicht die Faktoren ermitteln willst sondern nur wissen möchtest ob 3 Vektoren linear abhängig sind (--> komplanar) kannst du das auch mit Hilfe der Determinanten lösen.


    ist die Determinante = 0 sind sie linear abhängig
    D
    =
    |a,b,c|
    =
    |6,-1,5|
    |7,9,3|
    |-4,21,9|
    =
    6·(-9·9-21·3) + 1·(-9·7+3·4) + 5·(7·21+4·9)
    =-6·144 - 51 +5·183
    = 0


    --> D=0 Vektoren a,b,c sind komplanar


    Erklärt euer Lehrer nichts?


    p.S. 4 dreidimensionale Vektoren sind immer linear abhängig.

    Ok,danke ich habe es jetzt verstanden.


    War meine Aufgabe wo s=2 und t=0 waren also richtig?


    Nur:Wo liegt rechnerisch denn der Unterschied ob ich ausrechne ob sie nun komplanar ode rlinear sind???

    Also wie ich das mit dem "ob sie linear abhängig sind" per Determinante ausrechnen kann ist für mich jetzt klar!
    Aber das kann man ja auch anders machen(wie du es beschrieben hast mit 3=2s+4t usw.).


    Wie mache ich es denn noch mit dem "ob sie komplanar sind" ?
    Rechne ich da genau dasselbe wie oben bei linear?


    Wo ist der Unterschied zwischen komplanar und linear?

    Also da scheint ein verständnisproblem vorzuliegen


    linear abhängig sind verktoren wenn ein Vektor sich durch 1 oder mehr andere Vektoren darstellen läßt
    Bsp.


    a = s·b + t·c + u·d .....


    kollinear sind Vektoren wenn EIN Vektor sich durch EINEN anderen darstellen läßt (also auch linear abhängig sind)
    a = s·b


    komplanar sind Vektoren wenn EIN Vektor sich durch ZWEI Vektoren darstellen läßt (die drei Vektoren sind dann auch linear abhängig)


    a = s·b + t·c


    kollonearität und komplanarität sind spezialfälle der linearen abhängigkeit

    Also nochmal hier zu:


    Sind die folgenden Vektoren komplanar?


    a=(6 / -1 / 5 )
    b=(7 / 9 / 3 )
    c=(-4 / 21 / -9 )
    d=(8 / 19 / 1)



    6=7s-4t+8u
    -1=9s+21t+19u usw.


    dann einfach das Gleichungssystem auflösen und wenn es passt sind die Vektoren komplanar?


    Kann man das auch per Determinante lösen(sind ja jetzt 4 Vektoren)?