alle guten Dinge sind 3: Volumen und Oberfläche einer Dose Bohnen...

    also - mehr kommt dann heute nicht, versprochen! - Aufgabe ist folgende:


    Eine Dose für Bohnen soll hergestellt werden, dabei ist das Volumen festgelegt und es soll möglichst wenig Material verbraucht werden, die Oberfläche muss also möglichst klein sein.


    bisher habe ich das:


    V = r² π h


    O = 2r² π + 2r π h


    so, dann dachte ich, stelle ich die Volumenformel nach h um, also:


    h = V/(r² π ), setze das in die Oberflächenformel ein:


    O = 2r² π + 2r π * (V/(r² π ))


    daraus dachte ich, könnte man eine Funktion bilden, die dann ableiten und die erste Ableitung gleich 0 setzen, weil man dann ja die Extrempunkte rausfindet.


    Danach die 2. Ableitung bilden, die beiden Werte für r, die man für die Extrempunkte rausbekommen hat, einsetzen und den Tiefpunkt 8da man ja die kleinste Oberfläche sucht) würde man dann rausbekommen, indem man sieht, dass der Wert für r größer als 0 ist, im Unterschied zum Hochpunkt, wo er kleiner als 0 sein müsste.


    aber irgendwie bin ich anscheinend zu blöd zum Ableiten oder da ist ein Denkfehler drin? stimmt das vom Gedankengang und wenn ja, wie ginge es weiter?

    es tut mir ja echt leid, aber im Moment scheine ich einfach zu blöd für Mathe zu sein...


    Ich schreibe jetzt mal auf, soweit ich das habe, ok?


    also: Oberfläche = π r² + 2 π r h


    Volumen = r² π h


    h = V/(r² π)


    also hätte man die Funktion:


    f(x) = π r² + 2 π r * V/(r² π)


    so, ich dachte jetzt, das ableiten, gleich 0 setzen, dann kriegt man die Extrempunkte raus, also ein Verhältnis von V zu r, und das in die Volumenformel einsetzen, um das Verhältnis von r zu h rauszukriegen - aber wie leitet man das ab?!


    f'(x) = 2 π r + ?

    also deine Funktion ist fast richtig
    (hat die Dose einen Deckel, dann musst du den Term 2*π*r[UP]2[/UP] nehmen, ohne Deckel nur π*r[UP]2[/UP])
    Ich habe mal mit Deckel gerechnet.
    -->
    O(r) = 2*π*r[UP]2[/UP] + 2*V/r (Ich habe mal schon was gekürzt)


    Um das abzuleiten, leitest du jeden Term einzelnd ab, also

    O'(r) = 4*π*r - 2*V/r[UP]2[/UP]


    Dann 0 setzen, mit r[UP]2[/UP] multiplizieren und nach r[UP]3[/UP] umstellen. Dann noch 3.Wurzel ziehen und fertig ist das. ;)

    ok, ich hab's jetzt nochmal weiter versucht:


    f(x) = π r² + (2 π Vr)/(r² π )


    f'(x) = 2 r π + (2 π V *r² π - 2 π V r * 2 r π )/(r^4 π²)


    = (2 r^5 π³ + 2 π V * r² π - 2 π V r * 2 r π )/(r^4 π²)


    = (2 r^5 π³ + 2 π² V r² - 4 π² V r²)/(r^4 π²)


    = (2 r³ π + 2 V - 4 V)/ r²


    --> (2 r³ π - 2 V)/r² = 0


    2 r³ π - 2 V = 0


    2 V = 2 r³ π


    V = r³ π


    einsetzen in Volumenformel:


    r³ π = r² π h


    --> r = h


    aber das ist falsch, weil da h = 2r rauskommen soll...
    was habe ich denn jetzt falsch gemacht?!


    ok - soviel zu meiner Rechnung...


    wieder mal echt typisch, dass ich den deckel vergesse *ggrrrr*

    also wenn dort h=2r rauskommen soll, dann musst du mit Deckel rechnen:
    O = 2π r² + 2 π r h
    V = π r[UP]2[/UP] h


    --> O(r) = 2*π*r2 + 2*V/r


    --> O'(r) = 4*π*r - 2*V/r[UP]2[/UP]


    --> 0 = 4*π*r - 2*V/r[UP]2[/UP] (mal r[UP]2[/UP])
    --> 0 = 4*π*r[UP]3[/UP] - 2V
    --> 2V/(4π ) = r[UP]3[/UP]


    dort jetzt V aus der Volumenformel einsetzen:


    --> (π r[UP]2[/UP] h)/(2π ) = r[UP]3[/UP]
    --> h = 2r ;)