Tangentialkegel...

    Tut mir leid, dass ich schon wieder was will, wir machen nur im Moment gerade eine Wiederholung von allem möglichen mit neuen Teilbereichen...


    auf der Suche danach, wie man einen Tangentialkegel berechnet, bin ich auf diese Seite gestoßen:


    http://www.matheboard.de/mathe…d_Tangentialgleichung.htm


    Ist ja auch ganz schön, aber wir haben das sonst immer anders aufgeschrieben, wie genau ist das mit dem X index M gemeint?


    und auch bei der zweiten Formel weiß ich nicht, wie ich das jetzt aufschreiben würde mit Zahlen - was ist X Index B/M?



    also wenn die Aufgabe lauten würde:


    Gegeben ist eine Kugel mit der Gleichung:


    (x1-1)² * (x2-1)² * (x3-7)² = 25


    und der Punkt B(2/7/9)


    und jetzt soll man den Mittelpunkt des Tangentialkegels ausrechnen - wie würde man das nach der Formel machen?

    Du meinst sicher, dass die Gleichung deiner Kugel
    (x1-1)² + (x2-1)² + (x3-7)² = 25 ist mit r = 5.


    Was meinst du mit Mittelpunkt des Kegels? Meinst du den Mittelpunkt der Grundfläche des Kegels?


    Bei der Formel ist xM der Mittelpunktsvektor deiner Kugel (also bei dir ist xM=(1,1,7) ), xB ist der Punkt wo due Tangentialebene durchgeht (evtl. bei dir xB = B) und r ist der Radius (hier r=5).

    ja, klar, meinte ich + - steht hier auch - gedanklich vertippt ;)


    ja, mit dem Mittelpunkt meinte ich tatsächlich den Mittelpunkt der Grundfläche des Kegels.


    achso, gut, der Anfang wäre dann ja noch logisch ... und wie geht das mit dem Mittelpunkt und was ist das mit x B/M?


    aber danke schonmal für den Anfang! :)

    Ich denke xB ist nicht ein beliebiger Punkt, sondern schon der Berührpunkt, also der Punkt wo die Ebenen die Kugel berühren. Also kann man mit der Formel erstmal wenig anfangen, solange man xB nicht hat. Und mit anderen Formel können wir xB nicht errechnen, da wir dazu die Ebene bräuchten.
    Ich werde mir mal was einfallen lassen.

    so hier jetzt mal ein paar Anregungen:


    Was wir brauchen ist der Punkt xB = xA --> Punkt A (nur mal zur Benennung, da hier der Punkt B nicht der Punkt B ist, wie in den Formeln oben), also den Berührpunkt.


    Den erhälst du folgendermaßen:
    Betrachte mal das Dreieck M, B, ADu kennst die Länge der Strecke MB und du kennst du Länge der Srecke MA = r (auch wenn du noch nicht weißt, wo A liegt). Außerdem weißt du, dass der Winkel MAB = 90° ist. Damit kannst du die Länge der Strecke BA berechnen und damit dann den Punkt A (der ja auf der Kugel liegen muss).
    Du wirst für A im Idealfall nicht einen Punkt erhalten sondern einen Kreis, weil es ja mehrere Punkte (nämlich alle auf dem Kreis) vom Punkt B den Abstand BA haben. Wenn du den Kreis (das ist dein Berührungskreis) kennst, kannst du davon den Mittelpunkt berechnen.


    Falls du damit nicht weiterkommst, kann ich dir auch die Rechnung posten. Versuche es aber bitte erstmal alleine. ;)

    Und noch ein Tipp.
    Wenn du den Abstand BA hast, dann bekommst du den Schnittkreis (die Grundfläche des Kegels) am einfachsten, in dem du um den Punkt B eine Kugel konstruierst, mit dem Radius BA.
    Dann lässt du die Kugel mit deiner eigentlichen Kugel schneiden. Die Schnittmenge der beiden Kugeln ist genau dein Kreis.

    hmm - also ich habe das jetzt mal versucht - du schreibst, die Kreise (bzw. Kugeln) müssten genau gleich groß sein, müssten also denselben Radius haben und dann könnte man das ja auch einfach gleichsetzen, aber ich habe für den Radius der zweiten Kugel 4 und nicht 5 ausgerechnet - ?(


    Der Betrag der Strecke AM ist ja 5, also der Radius der ersten Kugel, die Länge der Strecke BM beträgt dann √ (1²+6²+2²) = √ 41, und die Strecke AB wäre dann ja √ ( √ 41)² -5² ) = √ (41-25) = 4


    oder stimmt da was nicht?


    Dann hätte man noch die zweite Kugel:


    K: (x1-2)² + (x2-7)² + (x3-9)² = 16


    und wie setzt man das jetzt mit der anderen Kugel gleich? ich hatte gehofft, da würde dann eine Variabel wegfallen, x1 oer so und ein Kreis übrig bleiben, aber irgendwie tut es das ja nicht.


    wie geht das dénn dann?

    Ja, deins ist richtig, √41 stimmt. Ich hatte mir ein falsches B von dir abgschrieben. :rolleyes:


    Um die Kugeln jetzt zu schneiden, kannst du die beiden Kugelgleichungen gleichsetzen, und dann nach x1, x2, x3 umstellen. Das ist eine Ebene, also deine Schnittebene. Wenn du diese Ebene jetzt zB. mit einer Kugel schneidest, erhälst du deinen Schnittkreis.
    Du kannst aber auch eine Gerade durch BM aufstellen und diese Gerade mit der Ebene schneiden lassen. Der Schnittpunkt ist dann dein gesuchter Punkt.

    mit dem gleichsetzen geht das wie folgt:


    KB: (x1 - 2)² + (x2 - 7)² + (x3 - 9)² - 16 = 0


    KM: (x1 - 1)² + (x2 - 1)² + (x3 - 7)² - 25 = 0


    -->
    (x1 - 2)² + (x2 - 7)² + (x3 - 9)² - 16 = (x1 - 1)² + (x2 - 1)² + (x3 - 7)² - 25
    -->
    x1 + 6x2 + 2x3 = 46
    Das ist deine Schnittebene (wenn ich mich nicht verrechnet habe ;) )


    Jetzt kannst du die mit einer Kugel wieder schneiden, um deinen Schnittkreis zu erhalten. Oder aber du schneidest die Ebene mit der Gerade durch BM (also g = (1,1,7) + s*(-1,-6,-2) wobei (-1,-6,-2) aus M - B stammt ). Dann erhälst du sofort deinen gesuchten Mittelpunkt, da der ja genau auf der Verbindungslinie von BM liegen muss.

    super, vielen Dank! irgendwie war ich mal wieder zu blöd dazu, zu erkennen, dass das dann ja die Ebene ist - also echt :rolleyes:


    ich habe als Mittelpunkt jetzt (1 25/41, 4 27/41, 8 9/41) raus...
    wobei ich mich jetzt frage: wie soll man daraus einen Kreis machen? Normalerweise hat man für einen Kreis doch nur 2 Koordinaten...

    Der Punkt ist richtig.


    Brauchst du den Kreis denn überhaupt? Die Frage war doch nur nach dem Mittelpunkt deines Kegels, und den hast du ja.


    Wenn du den Kreis haben möchtest, setze die Ebene einfach in eine Kugel ein. Dann bekommst du den Kreis. Ich denke das ist am einfachsten. (Also Ebene nach z.B. x1 umstellen und in die Kugel einsetzen. Dann hast du nur noch x2 und x3. Das ist dann dein Kreis. )

    ja, ich brauche den Kreis, weil wir das Volumen des Kegels ausrechnen sollen...


    also genau das mit der Ebene in die Kugel einsetzen habe ich vorhin schonmal versucht und habe da folgendes raus:


    -554 * x2 - 198 * x3 + 37 *(x2)² + 5 * (x3)² + 16 * x2 * x3


    ähm ja - und daraus einen Kreis bilden?


    wobei mir gerade aufgefallen ist, dass ich das Volumen ja gar nicht brauche, da ich den Radius des Kreises mit Pythagoras ausrechnen kann, indem ich mittels 1/2 * Länge AB * Länge AM die Fläche eines Dreiecks, das sich dann ergeben würde, wäre es zweidimensional, diesen Flächeninhalt kann man dann ja durch 1/2 * Länge BM teilen und müsste dann ja den Radius des Kreises erhalten, oder? wäre dann etwa 3,12


    mehr braucht man für die Berechnung des Volumens ja nicht.


    Aber trotzdem, wie ginge das mit dem Kreis weiter?!

    Ah, vergiss dass mit dem Kreis. Denn im Raum gilt nicht die Kreisgleichung. Die gilt nur in der Ebene.
    Einen Kreis im Raum zu beschreiben ist schwieriger.
    (Das geht mit Parameterkurven und Winkelfunktionen).


    Ich denke es reicht, wenn du Mittelpunkt und Radius hast. Damit kannst du dann deinen Kegel komplett berechnen.

    Zitat

    Original von Interstar
    Ah, vergiss dass mit dem Kreis. Denn im Raum gilt nicht die Kreisgleichung. Die gilt nur in der Ebene.
    Einen Kreis im Raum zu beschreiben ist schwieriger.
    (Das geht mit Parameterkurven und Winkelfunktionen).


    Ich denke es reicht, wenn du Mittelpunkt und Radius hast. Damit kannst du dann deinen Kegel komplett berechnen.


    oh - das klingt kompliziert... okay, also blasse ich es dabei ;)