Logarithmus-Vereinfachungsaufgaben

    wir haben eine Aufgabe auf, bei der ich irgendwie nicht weiß, wie sie geht - vielelicht stelle ich mich auch nur etwas blöd dabei an, aber es wäre nett, wenn mir mal jemand kurz 4 Beispielaufgaben ausrechnen würde und mir erklären würde, wie das allgemein geht!


    1) e^ln(4)


    ich sehe jetzt, dass 4 rauskommt, wenn ich das in den Taschenrechner eingebe, aber kann man das noch irgendwie anders schreiben und umstellen?


    2) e^(0,5 * ln(0,25))


    3) ln(1/2 * e^3)


    4) ln( √ (e^3))

    Also bei den Umformugen ist es wichtig, dass man einige Basisumformungen kennt.


    a)
    Die allerwichtigste ist, dass die e-Funktion die Umkehrung der Logarithmus-Funktion ist bzw. umgekehrt. Also gilt immer e[UP]ln(x)[/UP] = x und ln(e[UP]x[/UP]) = x. Das kann man nicht einfacher schreiben.


    b)
    Ok, allgemein gilt beim Logarithmus: ln(x[UP]a[/UP]) = a*ln(x).
    Du kannst also 0,5*ln(0,25) in ln(0,25[UP]0,5[/UP]) umwandeln. Der Rest funktioniert so wie bei a).


    e[UP]0,5*ln(0,25)[/UP] = e[UP]ln(0,25^0,5)[/UP] = 0,25[UP]0,5[/UP] = (1/4)[UP]1/2[/UP] = 1/2 = 0,5


    (Hinweis: x[UP]0,5[/UP] = x[UP]1/2[/UP] ist gleichbedeutent mit √x )

    c)
    Hier kommt zum Tragen, dass du ein Produkt im Logarithmus in einer Summe von zwei Logarithmen aufspalten kannst, also
    ln(a*b) = ln(a) + ln(b)
    Außerdem kannst du einen Quotienten im Logarithmus in eine Differenz aufspalten, also
    ln( a/b ) = ln(a) - ln(b)
    (daher macht es sich immer gut, Brüche zu schreiben, also 1/2 anstatt 0,5 , da man das dadurch besser erkennen kann )


    -->
    ln(1/2 * e[UP]3[/UP])
    = ln(1/2) + ln(e[UP]3[/UP])
    = ln(1) - ln(2) + ln(e[UP]3[/UP])
    = 0 - ln(2) + 3
    = 3 - ln(2)


    d)
    Hier kannst du eigentlich wieder die Tatsache von b) anwenden.
    ln( √ (e[UP]3[/UP]) ) = ln( (e[UP]3[/UP])[UP]1/2[/UP] ) = 1/2 * ln(e[UP]3[/UP]) = 1/2 * 3 = 3/2