Untersuchung an Definitionslücken

    Hallo ihr,
    ich bin gerade dabei fürs Abi zu lernen und bin auf verschiedene Prolbleme gestoßen :-/
    Ich bin schon ziemlich verzweifelt und würde mich echt
    freuen, wenn ihr mir helfen könntet?


    Es geht um folgendes:
    Gegeben ist die Funktion


    x -> g(x) = 0,5x[up]3[/up] / (x[up]2[/up] -2x -3)


    Ich habe bereits den Definitionsbereich (D = R ohne -1 und 3), die Nullstellen, sowie die Extrema bestimmt, allerding weiß
    ich nicht mehr, wie man die Definitionlücken untersucht.


    Wie erkenne ich was für ein Pol vorliegt? Und wie die
    Funktion verläuft?


    wir haben das immer mit Limes und h-> 0 gemacht...
    also angefangen hab ich so:


    0,5(-1 + h)[up]3[/up] / ( (-1+h)[up]3[/up] - 2(-1 + h)-3)


    das selbe müsste ich doch noch für
    f (-1 -h)
    f (3 + h)
    und f (3-h) machen, oder?
    Nur weiß ich nicht so recht wie ich das ausrechne? Man bekommt + oder - unendlich heraus, das weiß ich :)
    nur wie deute ich das?


    Ich wäre euch echt dankbar, wenn ihr mir helfen könntet


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    bearbeitet von Cepheiden
    BBCode korrigiert    [/size]

    Wie genau bekomme ich denn raus, ob es nach ∞ oder - ∞ geht?
    Und wie weiß ich dann, ob es von -∞ nach +∞ geht oder andersherum?
    Ich habe das nach meinem Ansatz oben mal versucht auszurechnen und bekomme für:
    Limes -1
    also f (-1 -h) , (3 + h) zweimal -∞ heraus, nur müsste ich laut Skizze unserer Lehrerin einen Vorzeichenwechsel herausbekommen?
    Es wäre wirklich hilfreich, wenn du mir mal kleinschrittig die
    Rechnung zeigen könntest?

    Ok, also zuerst betrachten wir die Unstetigkeitsstelle -1.
    Ich mache das ganze mal mit deinem Verfahren, also mit dem eingeschobenen h.


    Man muss an die Unstetigskeitsstelle immer von links und von rechts rangehen, also den Limes lim f(-1-h) mit h-->0 und den Limes lim f(-1+h) bilden.


    Zuerst lim f(-1-h) (also von links nähernd)


    limh->0f(-1-h) = limh->0( (-1-h)[UP]3[/UP]) / (2*limh->0( (-1-h)[UP]2[/UP]-2(-1-h)-3 )
    Der Zähler wird -1. Den Term -2(-1-h) kann man in +2 + 2h aufspalten. Also bleibt


    limh->0f(-1-h) = -1/(2*(limh->0(-1-h)[UP]2[/UP] + limh->0(2 +2h)) - 3) )
    Der quadratische Term ist egal, denn er ist immer pos. und für h gegen Null geht der gegen 1. Die 3 ist auch egal. Also sieht das ganze so aus:


    limh->0f(-1-h) = -1/(2*(1 + 2 + limh->0(2h) - 3) = -1/(4*limh->0(h) )
    Da h nur ein relativer Abstand von der Unstetigkeitsstelle nach links ist, hat h immer ein pos. Vorzeichen.
    D.h. der Ausdruck -1/(4*limh->0(h) ) geht gegen -∞.



    Jetzt zum lim f(-1+h) (also von rechts nähernd)


    Das geht ganz genauso, wie das oben für -h.
    Nur das man jetzt -2(-1+h) in 2 - 2h aufspaltet.


    Damit bleibt stehen:
    limh->0f(-1+h) = -1/(2*(1 + 2 + limh->0(-2h) - 3) = -1/(2*limh->0(-2h) )


    Die -2 kann man vorziehen und hebt sich damit mit dem Minus im Zähler aus.
    Also limh->0f(-1+h) = 1/(4*limh->0(h) ).
    Für h-->0 geht dann der Ausdruck gegen +∞ .


    Für f(3-h) und f(3+h) macht man das genauso. Hier kannst du das ja mal alleine probieren.
    Falls du noch mehr Zwischenschritte brauchst, sag einfach bescheid. Dann mache ich das noch ausführlicher. ;)

    Danke, das hat mir sehr geholfen :)


    Könntest du mal schauen ob das so stimmt?


    limh->0 f(3-h) = limh->0( 0,5(3-h)[UP]3[/UP]) / ( (3-h)[UP]2[/UP] - 2 (3-h) -3)
    = (13,5 -0,5h[UP]3[/UP]) / ( 9-6-3 + 2h)
    = + ∞


    lim h->0 (0,5(3 +h)[UP]3[/UP]) / ( (3+h)[UP]2[/UP] - 2(3+h) -3)
    = (13,5 + 0,5h)[UP]2[/UP] / (9-6-3 -2h)
    = - ∞



    Schließt man daraus folgendes?
    Es liegt ein Pol mit Vorzeichenwechsel vor, der von -∞ nach +∞ geht?


    So ganz hab ich nämlich noch nicht verstanden, was für eine Information ich daraus für meine Zeichnung ziehen kann.
    Wäre nett, wenn du mir das noch erklären könntest.

    Hmm, nein das stimmt leider nicht.


    Zum Beispiel hast du beim Zähler nicht berücksichtigt, das das ja hoch 3 ist, da muss man also "binomische" Formeln verwenden. Auch ist das Ergbnis nicht richtig, denn es muss genau das umgekehrte rauskommen.


    Hier mal der richtige Weg (man muss Zähler und Nenner immer extra betrachten)


    limh->0f(3-h) = limh->0(0,5(3-h)[UP]3[/UP]) / limh->0( (3-h)[UP]2[/UP] - 2(3-h) -3 )


    Zähler:
    limh->0(0,5(3-h)[UP]3[/UP])=
    limh->0(0,5(-h[UP]3[/UP] + 9h[UP]2[/UP] - 27h + 27) für h-->0 geht der Zähler zu 0,5*27
    = 13,5


    Jetzt betrachten wir nur den Nenner:
    limh->0( (3-h)[UP]2[/UP] - 2(3-h) -3) =
    limh->0(9 - 6h + h[UP]2[/UP] - 6 + 2h -3) =
    limh->0(h[UP]2[/UP] - 4h)
    Jetzt kommt eine Schwierigkeit. Und zwar geht für h-->0 das h[UP]2[/UP] schneller gegen 0 als 4h. Das bedeutet für kleine h-Werte ist h[UP]2[/UP] < 4h, also ist der Nenner negativ.
    (Du kannst das ausprobieren in dem du für h=0,4 oder h=0,2 oder h=0,1 oder h=0,001 usw. einsetzt.)
    Also geht für h-->0 der Nenner gegen -0.


    Das heißt für den ganzen Term
    limh->0f(3-h) = 13,5/-0 --> -∞ .



    Für f(3+h) geht das genauso:
    limh->0f(3+h) = limh->0( 0,5(3+h)[UP]3[/UP]) / limh->0( (3+h)[UP]2[/UP] - 2(3+h) -3)


    Zähler:
    limh->0(0,5(3-h)[UP]3[/UP])=
    limh->0(0,5(h[UP]3[/UP] + 9h[UP]2[/UP] + 27h + 27) für h-->0 geht der Zähler zu 0,5*27
    = 13,5


    Nenner:
    limh->0( (3+h)[UP]2[/UP] - 2(3+h) -3) =
    limh->0(9 + 6h + h[UP]2[/UP] - 6 - 2h -3) =
    limh->0(h[UP]2[/UP] + 4h)
    Hier ist zwar auch h[UP]2[/UP]<4h für h-->0, aber da hier addiert wird, bleibt der Nenner positiv. Er geht also gegen +0.


    Das heißt für den ganzen Term
    limh->0f(3+h) = 13,5/+0 --> +∞ .

    Und jetzt noch zu der Bedeutung:
    Es ist nicht nur dann ein Pol, wenn ein Vorzeichenwechsel stattfindet. So gibt es auch Pole die kein Vorzeichenwechsel haben, also wo es von beiden Seiten gegen +∞ geht (z.B. 1/x[UP]2[/UP]) oder von beiden Seiten gegen -∞ (z.B. -1/x[UP]2[/UP])


    Allgemein ist es immer dann eine Polstelle (Unstetigkeitsstelle) wenn der Grenzwert nicht existiert, also nicht endlich ist.


    Die Information die du erhälst ist eigentlich nur wie du deinen Graphen zeichnen kannst.


    Du fängst bei großen negativen x, also ganz links an und gehst nach rechts..
    Dann weißt du das es bei -1 eine Polstelle gibt mit dem Grenzwert - ∞. Dein Graph geht also nach unten. Gehst du ein kleines Stückchen weiter nach rechts, weißt du das es bei -1 auch eine Polstelle gibt mit dem Grenzwert +∞. Dein Graph kommt also wieder von oben. Gehst du weiter nach rechts zu x=3 weißt du, das es dort wieder eine Polstelle mit dem Grenzwert -∞ gibt, also dein Graph nach unten verschwindet. Ein kleines Stück weiter nach rechts gibt es bei x=3 eine Polstelle mit +∞, er muss also von oben wieder kommen.


    Im Bild siehst du das. Die senkrechten Striche gehören nicht zur Funktion, sondern kennzeichnen die Polstellen.

    oha, das is ja komplizierter als ich dachte. Stimmt, das mit der dritten binomischen Formel ist mir nich aufgefallen...
    Gibt es keine einfachere Möglichkeit? Kann man das h vll schon in den klammern gegen 0 wandern lassen?


    Ich danke dir, dass du dir zeit nimmst mir das so genau zu erklären, das ist wirklich nett.

    Ja das kann man tun. Wenn man das begründen kann. ;)


    Ich habe das ja eigentlich schon bei f(-1-h) und f(-1+h) gemacht.
    Hier bei der 3 wollte ich das mal ganz ausführlich machen.


    Für den Zähler ist die Begründung einfach. Die Polstelle tritt nur auf, wenn der Nenner 0 wird. Also passiert im Zähler nix "spannendes", solange er selbst nicht 0 wird (sonst steht da 0/0 und das müsste man besonders betrachten.) Das passiert hier im Zähler nicht, er ist also ungleich 0 und damit uninteressant.
    Also kann man hier im Zähler gleich h gegen 0 laufen lassen.


    Für den Nenner wird es schwieriger. Im Beispiel für die -1 habe ich stillschweigend das für den quadratischen Term im Nenner genauso gemacht und den nicht ausgerechnet. Das ist aber wirklich nur sinnvoll wenn man das überblickt.
    Ich empfehle dir für den Nenner immer erst alles auszurechnen (so wie bei der 3), weil sich sonst vielleicht doch mal Fehler einschleichen können. Denn es gibt Funktionen, wo man das so schnell nicht überblickt.


    Den Zähler kannst du dir aber meistens sparen, solange er selbst nicht 0 wird bei der Polstelle. (Aber man muss wissen, welches Vorzeichen der Zähler liefert. So wird er ja bei der -1 eben negativ, bei der 3 aber positiv.)


    Im Zweifelsfalle ist es immer am besten, alles auszurechnen. Da kann dann wenig verkehrt gehen.



    Mach ich doch gerne. :D