Funktionscharen

Da das sehr lang ist das ganze schrittweise:

Dein Ableitungen sind richtig.

Dein NST aber nicht. Du hast dich da verrechnet:
z[UP]2[/UP] - kz = 0 -->
z_1,2 = -k/2 [UP]+[/UP]_- √ (k[UP]2[/UP]/4)
z_1,2 = -k/2 [UP]+[/UP]_- k/2
--> z₁ = 0 --> x₁ = 0
--> z₂ = k --> x₂ = +√k und x₃ = -√k

Man kann das aber noch sehr viel einfacher rechnen:
Man kann nämlich x[UP]2[/UP] ausklammern, dann ergibt das
x[UP]4[/UP] - kx[UP]2[/UP] = x[UP]2[/UP](x[UP]2[/UP] - k) = 0
Das ganze ist = 0, wenn entweder der erste Term Null ist, also x[UP]2[/UP] = 0 --> x=0 oder aber wenn der zweite Term gleich Null ist, also (x[UP]2[/UP] - k) = 0 --> x = [UP]+[/UP]_-√k
Noch ein Hinweis: die NST x_2,3 gibt es nur, wenn k>0 ist, denn bei negativem k ist die Wurzel nicht reell lösbar.

Jetzt zu deinen Extrempunkten:
das ist fast alles richtig, nur bei den y-Werten der Tiefpunkte hast du dich verrechnet:
f_k( +√ (0,5k) )=-1/4 *k²
genausso bei
f_k( -√ (0,5k) )=-1/4 *k²
Außerdem hast du noch eine Fallunterscheidung vergessen:
Deine Ergebnisse gelten nur, wenn k=0 oder k>0.
Ist k aber k<0, dann gibt es keine Minima, weil es dann wieder x_2,3 nicht gibt.

Also die Wendestellen sind auch richtig (für k=0 bzw. k>0), aber warum versuchst du die in in f'''_k einzusezen?
Rechne einfach die y-Werte zu den Wendestellen aus und das hast die Wenepunkte komplett, also f_k([UP]+[/UP]_- √ (1/6*k))

b) So jetzt die Ortskurve der Tiefpunkte (gibt es ja nur wenn k>0):
Die Tiefpunkte sind doch ([UP]+[/UP]_- √ (1/2*k), -1/4*k[UP]2[/UP])
Die Ortskurve bestimmst du dadurch, dass du den x-Term = x setzt und den y-Term =y, also:
x = [UP]+[/UP]_- √ (1/2*k) --> k = 2x[UP]2[/UP]
y = -1/4*k[UP]2[/UP] <-- jetzt k einsetzen
--> y = -x[UP]4[/UP]
Und schon hast du deine Orstkurve.

c) Kannst du bitte c) nochmal genauer hinschreiben?
Also x_e soll KEINE Extremstelle sein, x_W aber eine Wendestelle? Und es soll gezeigt werden, dass die Aussage "x_e/x_W hängt nicht von k ab" nicht stimmt?
Hab ich das so richtig verstanden?

Ok, also soll x_e/x_w von k abhängen.

Das ist doch ganz einfach: x_e ist ein beliebiges x ( ungleich Extremstellen), x_w ist die Wendestelle, also x_w=[UP]+[/UP]_-√ (1/6*k)
--> x_e/x_w = x/ [UP]+[/UP]_-√ (1/6*k) --> das Verhältnis ist von k abhängig.

Meiner Meinung nach ist die Aufgabe völliger Schwachsinn, da man das ja aus dem Graphen auch sofort erkennt.
Bei jedem Graphen (für ein k) bleibt die Wendestelle konstant, während sich die x-Punkte ja im Beriech von [- ∞, + ∞] bewegen.

Für jeden Graphen mit unterschiedlichem k ist die Position der Wendestelle woanders --> auch die Verhältnisse zw. beliebigen x-Werten und der Wenstelle sind anders.

Sinnvoller wäre es zu untersuchen, wie das Verhältnis von Extremstelle und Wendestelle ist.
--> x_ex = [UP]+[/UP]_- √ (1/2*k)
--> x_w=[UP]+[/UP]_-√ (1/6*k)

--> x_ex/x_w = √3
d.h. das Verhältnis von Extremalstelle und Wendestelle ist immer √3, also unabhänig von k.

Diese Aussage ist viel lehrreicher als das Untersuchen vom Verhältnis beliebiger Punkte zum Wendepunkt.

Das nur mal meine Meinung dazu.

Zitat

Für die beiden y-Punkte dieser Wendestellen habe ich - 5/36 k heraus.

-5/36 k[UP]2 [/UP] ist richtig

Für k=0 und k<0 gibt es keine Wendestellen, da gibt es also nix weiter zu betrachten.

Zitat

Zu den Extremstellen:
k<0:
Da bekomme ich doch immer den gleichen Wert wie für k=0 und k ungleich 0 heraus,oder?

Also, wenn k<0 oder k=0 ist, dann gibt es NUR die Extremstelle x₁=0, mehr nicht. Ich wüsste auch nicht, was es jetzt da noch zu deuten gäbe. Man könnte vielleicht höchstens sagen, dass die Kurven parabelartig sind.
Außerdem kann man sagen, dass ALLE Kurven dieser Kurvenschar (also für k<=>0) immer im Punkt x₁=0 eine Extremstelle (entweder Maxium oder Minimum) haben.

Womit substituiert?

Naja du hast doch die Tiefpunkte in Abhängigkeit von k errechnet.

z.B. x_tp = 5·k

wenn du das nach k umstellst und in die Ursprungsschar einsetzt dann erhälst du die Ortsfunktion der Tiefpunkte.
Das könnte man als substituieren bezeichnen.
Das ist aber das was Interstar schon obern erklärt hat.