Wochenaufgaben Analysis

    Hallo!!


    Mein Mathelehrer ist für diese Woche auf Klassenfahrt und hat uns deshalb Aufgaben gegeben. Diese sind auch wichtig für die Klausur. Vielleicht wäre es möglich, dass sich jemand meine Lösung mal ansieht bzw. mir bei einigen Fragestellungen hilft. Wäre wirklich super nett.


    Z.B. hätte ich ein Frage zum Rauminhalt eines Drehkörpers.
    Davor sollte die Fläche, die von der Funktion
    f(x)= (1 - e^(-x))/e^x, seiner Wendetangente und der x-Achse begrenzt wird, berechnen. Für die Wendetangente habe ich die Gleichung y=-1/8 x + 9/25. Daraus ergibt sich dann eine Fläche von etwa 0,421 FE.
    Die Gleichung zur Berechnung des Rauminhalts lautet ja


    V= π ∫ [f(x)]^2 dx.


    Muss man jetzt wirklich alles nochmal neu berechnen, oder kann man auch die 0,421 FE weiter nutzen? Was mich an dieser Aufgabe nämlich stört ist, dass es nicht nur ein f(x) gibt. Zuerst muss man nämlich ∫ ((1 - e^(-x))/e^x) dx in [0; ln4] berechnen und dann ∫ (-1/8 x + 9/25) dx in [ln 4; 72/25] oder liege ich da etwa falsch? Deswegen wüsste ich jetzt nicht wie f(x) aussieht. Kann mir da jemand weiterhelfen?

    Wendetangente ist fast richtig.


    der schnittpunkt mit der Y-Achse liegt bei n = LN(2)/4 + 3/16 ≈ 0.36


    9/25 sind ja 0.36, denkmal du hast irgendwo gerundet.


    Flächeninhalt mach ich nachher muss erstmal was essen.


    Zu deiner Frage, rechne mit V= π ∫ [f(x)]^2 dx da machst du nichts falsch
    f(x) hast du im prinzip richtig beschrieben, nur die Intervalle scheinen mir falsch.
    Das Volumen setzt sich aus den Teilvolumen zusammen.


    V = π ( ∫ ((1 - e^(-x))/e^x)^2 dx in [0; ln(4)] + ∫ (-1/8 x + 9/25)^2 dx in [ln(4); 2·LN(2)+3/2] )


    Hoffentlich hab ich mich nicht vertan.


    Das andere scheinen Rundungsfehler zu sein ( 2·LN(2)+3/2 ≈ 72/25).
    Rechne aber lieber genau

    Hmm..., eigentlich hatte ich immer mit den genauen Werten gerechnet ?( . Also ich habe als Wendestelle x=ln 4 und wenn man das in f(x) setzt erhalte ich 0,1875. Dann hatte ich für die Wendetangente berechnet:
    0,1875 = ln 4 * m + c


    m entspricht f'(ln 4) = -0,125


    c=0,36. Bitte sag mir, wo mein Fehler liegt, denn ich muss solche Aufgaben für die Klausuren können :( .

    wie gesagt hast du gerundet. (ganz leicht)


    (1 - e^(- LN(4)))/e^LN(4) = (1 - 1/4)/4 = 0.1875 = 3/16 = - 1/8·LN(4) + n


    LN(4) = 2 · LN(2)


    --> n = LN(2)/4 + 3/16 ≈ 0.3607867951


    Das wäre ganz korrekt. Aber wenn du schon LN(x) ausrechnest rundest du fast immer irgendwo. da meist nie glatte Brüche rauskommen

    Stimmt :D , seufz, mein Lehrer will doch nicht, dass man mit gerundeten Werten weiterrechnet :( . Dann muss ich das wohl ab da nochmal machen. Mach das aber lieber morgen.
    Vielen Dank schon mal :D !
    Aber noch eine Frage zu einer Aufgabe, die mich noch in den Wahnsinn treibt! Wenn man jetzt eine Funktion
    ft(x)=(2x)/(x^2 + t^2) hat und man soll jetzt das extremale Volumen eines Kegels, dass durch die Rotation eines Dreiecks mit den Punkten O (0/0), P(u/0), Q(u/v) entsteht, wobei Q(u/v) auf dem Graphen der Funktion liegt, bestimmen, dann müsste man doch erst das Integral ausrechnen, da man ja die Grenzen einsetzen muss [0;u], um dann davon wieder die Ableitung zu bilden und so u als Extremstelle berechnen zu können, oder? So habe ich aber eine etlich lange Reihe von Variablen erhalten und am Ende hätte ich die Nullstellen einer Funktion 6. Grades berechnen müssen, woran ich schließlich gescheitert bin. Jetzt wüsste ich gerne, ob mein Ansatz überhaupt richtig ist? Hat aber keine Eile, weil ich jetzt erstmal Abstand von Mathe brauche :rolleyes: . Vielen Dank für die Hilfe!

    Weiß zwar nicht wie du auf eine Funktion 6. Grades kommst. Aber grundsätzlich sollte man ein paar dinge wissen bzw die sollten einem bewust sein.


    1. ft (x)=(2x)/(x^2 + t^2)
    2. v = ft (u)=(2u)/(u^2 + t^2)


    3. Vt(u) = π ∫ m·x dx in [0;u]
    4. m = v/x


    V soll nun maximal sein (Maximum --> Abbleitung usw.)


    Hab das mal probiert komm aber auf kein sinnvolles Ergebnis ( 0 bzw ∞ )


    Das Volumen ist eine monoton steigende Funktion mit dem Grenzwert π für + ∞.
    Kann mir nicht vorstellen das das rauskommen soll, seh aber auch meinen Fehler nicht.

    Also meiner Meinung besitzt dieses Problem kein Maximum. Das Volumen konvergiert für + ∞ gegen π und ist auch nie größer als π .


    Vielleicht sollt ihr ja auch nur den Rechenweg richtig machen und dann die Schlußfolgerungen ziehen.


    Der Rechenweg ist jedenfalls bequem im Kopf rechenbar und es treten nie Terme mit einem höheren Grad als 4 auf (1. Ableitung)


    gn8

    OK, dass mit der Fläche (27/64) habe ich jetzt auch, danke :)) .
    Bei dem extremalen Rotationsvolumen bin ich aber zum Teil auch anders vorgegangen. Wieso z.B. ist m=v/x? Ich dachte m wäre f'(u). Meine Gerade hat dann die Gleichung:
    y=2*(t^2 - u^2)/(t^2+u^2)^2 * x
    Diese Gleichung hatte ich dann noch zum Quadrat genommen, weil ich dachte, dass man π ∫ y^2 dx berechnen müsste. Dann habe ich das Integral berechnet und habe 4/3 * π *u^3*(t^2-u^2)^2/(t^2+u^2)^4 erhalten. Ich dachte, dass ich diese Gleichung dann ableiten und dann davon die Nullstellen berechnen müsste, um u als Extremstelle zu erhalten. Wo liegt denn wieder mein Denkfehler, seufz :rolleyes: ? Ich komme mit diesen Aufgaben nicht klar!

    Du hast aber irgendwo einen Fehler gemacht, ich denk mal beim ableiten


    ich bekomm für v't (u) = 4· π ·u^2·(3·t^2 - u^2)/(3·(t^2 + u^2)^3)


    Also ich denkmal das Problem ist dir 100% klar, nun ist nur noch die Rechnung als letzte Hürde geblieben.


    P.S. ich hoffe ich hab keinen Fehler gemacht, aber ich würd sagen meins ist richtig da der Weg stimmt und die Rechnung 100% auch.

    Passiert doch jedem mal, wirklich nicht schlimm. Ich bin froh, dass ich Hilfe bekomme :)) .
    Meinst du mit m=v/u dieses Steigungsdreieck? Kann man nicht auch die erste Ableitung nehmen, dann hat man aber eine andere Steigung?

    Von der Funktion f(x)=(2x)/(x^2 + t^2). Die erste Ableitung ist da ja 2*(t^2 - x^2)/(t^2+x^2)^2. Und dann setzt man doch eigentlich u für x ein und hat dann die Steigung m. Oder gilt das nur für Tangenten?

    Das gilt natürlich nur für Tangenten, denn du rechnest mit der Ableitung nur die Steigung der Funktion in dem Punkt aus, dieist dann gleich dem Anstieg der Tangenten.
    g(x) und f(x) haben aber nur zwei gemeinsamkeiten. und zwar den Punkt (0;0) ergibt sich aus den Graphen und (u;v) ergibt sich aus den Randbedingungen.


    Deswegen solltest du die Gerade über das Anstiegsdreieck bestimmen.

    OK, ich habe jetzt erstmal das Rotationsvolumen von der e-Funktion berechnet. Ich habe da das Ergebnis V=(81* π )/1024) ≈ 0,2485 erhalten. Das hat mich Stunden gebraucht, da ich mich andauernd verrechnet habe :( , deswegen hoffe ich, dass es wenigstens richtig ist :rolleyes: . Jetzt setze ich mich erstmal an diese Extremwertaufgabe. Wäre nett, wenn du mein Ergebnis kontrollieren könntest, vielen Dank schon mal :)) .