Funktion mit Parameter

    Sehr geehrte Damen und Herren,
    ich wäre Ihnen sehr verbunden, wenn Sie mir bitte mal diese Beispielaufgabe lösen würden, da ich von Parametern überhaupt keine Ahnung habe. Ich finde einfach keinen Ansatz, weil ich nichts dazu gefunden habe! Wenn es geht, könnten Sie es ein wenig ausführlich tun, da ich dann nach Ihrem Schema rechnen werde.
    Vielen Dank für Ihre Mühe!


    Aufgabe:


    -Inhalt der Fläche A bestimmen
    -Fläche A liegt über Intervall I zwischen Funktionsgraph und der x-Achse
    -In Abhängigkeit von Parameter a ( a > 0 ; a E N )
    -Integrationsintervall auf Nullstellen untersuchen (wenn ja bitte aufteilen)
    -Nullstellen angeben mit Hilfe von a
    -Stammfunktion bilden mit Hilfe von a


    Funktion:


    f (x) = x² - (a + 2)x + a + 1I = [ 0 ; a + 2]


    Den einzigen Hinweis den ich bekommen habe ist das die Lösung keine reine Zahl ist, da sich je nach Parameter a ein anderer Zahlenwert ergeben würde. Die Lösung würde also in den meisten Fällen den Parameter a enthalten.


    Ich würde mich freuen, wenn Sie die Lösung an matzeman01@aol.com schicken würden.
    Nochmals vielen, vielen Dank!


    Mit freundlichen Grüßen


    Matthias

    Lautet die Formel so?


    f (x) = x² - (a + 2)x + a + 1 ; I = [ 0 ; a + 2]


    In deine Version denkt ein unkundiger, dass I=[0;a+2] zur Formel gehört.


    Also, die Fläche zwischen Graph und x-Achse erhält man durch das bestimmte Integrall der Funktion f(x) im Intervall I.
    Dabei sollte das integrieren der Funktion eigentlich kein Problem dartstellen.


    zur Kontrolle hier das unbestimmte Integrall oder die Stammfunktion F(x) der Funktion f(x):


    F(x) = 1/3 x³ - (a+2)/2 x² +ax + x


    Um nun die Fläche zu erhalten, musst du wie schon gesagt das bestimmte Integrall bilden.


    A = F(a+2) - F(0)


    Aber Vorsicht! Bevor du den Wert errechnest muss du noch F(x) auf Nullstellen untersuchen, denn bei Nullstellen schneidet die Funktion die x-Achse. Somit könnte die zu suchende Fläche nun teilweise oberhalb bzw. unterhalb der x-Achse liegen. Sind also NST vorhanden dann sind die Nullstellen die neuen Grenzen für die einzelnen bestimmten Integralle.
    Z.B. (eine NST vorhanden)


    I1 = [0 , NST]
    I2 = [NST , a+2]


    So dann sollte alles klar sein. Die anderen Punkte sind nicht schwer und wir wollen ja nur Hilfe geben und nicht die Aufgaben selber lösen.


    Beschäftige dich mit dieser Standardaufgabe nochmal und rechne alles nach.


    Noch Fragen?

    geg. : f(x) = x² - (a + 2)x + a + 1I [ 0 ; a + 2]


    ges. :1. Integrationsintervall auf Nullstellen untersuchen (ev. aufteilen)
    2. Nullstellen angeben mit Hilfe von Parameter a
    3. Stammfunktion bilden mit Hilfe von Parameter a
    4. Inhalt der Fläche A bestimmen
    Fläche A liegt über Intervall I zwischen Funktionsgraph und der x-Achse in
    Abhängigkeit von Parameter a ( a > 0 ; a є N )


    √ = Wurzel



    1. Prüfung auf Nullstellen y = 0:x² - (a + 2)x + (a + 1) = 0 / p = (a + 2) q = (a + 1)
    x1/2 = - P/2 ±√ ((- P/2)² - q)
    x1/2 = (a + 2)/2 ±√ (( (a + 2)/2)² - (a + 1))
    x1/2 = (a + 2)/2 ±√ (( (a + 2)/2)² - (a + 1))
    x1/2 = (a + 2)/2 ±√ ( (a² + 4a + 4)/2 - (a + 1))
    x1/2 = (a + 2)/2 ±√ ( a²/2 + 2a + 2 - a - 1)
    x1/2 = ( a /2 + 1) ±√ ( a² /2 + a + 1)


    2. Nullstellen angeben:Da immer a > 0 gibt es immer einen positiven Wert unter
    der Wurzel und damit:


    x1 = ( a /2 + 1) +√ ( a² /2 + a + 1)


    x2 = ( a /2 + 1) -√ ( a² /2 + a + 1)
    Es stellt sich die Frage: Ist der Wert der Wurzel so groß, dass die Nullstelle im Intervall liegt?
    a = 1:
    x1 = 3/2 + √ (5/2) ≈ 3,0811 x1 größer als die rechte Intervallgrenze 3
    x2 = 3/2 - √ (5/2) ≈ -0,0811 x2 kleiner als die linke Intervallgrenze 0
    a = 2:
    x1 = 2 + √ (5) ≈ 4,2360x1 größer als die rechte Intervallgrenze 4
    x2 = 2 - √ (5) ≈ -0,2360x2 kleiner als die linke Intervallgrenze 0
    a = 3:
    x1= 5/2 + √ (15/2)≈ 5,2386 x1 größer als die rechte Intervallgrenze 5
    x2= 5/2 - √ (15/2)≈ -0,2386 x2 kleiner als die linke Intervallgrenze 0


    Vermutung: Der Wert der Wurzel ist stets größer als (a /2 + 1)
    ( a /2 + 1 )² = ( a² /4 + 1 ) < ( a² /2 + a + 1 )
    Die Vermutung ist bestätigt!
    Also gilt stets: x1 > 2( a /2 + 1) = a + 2
    x1 = ( a /2 + 1) +√ ( a² /2 + a + 1) є [0 ; a + 2]
    da die Nullstelle x1 stets rechts von der Intervallgrenze liegt.


    x2 > 0
    x2 = ( a /2 + 1) -√ ( a² /2 + a + 1) є [0 ; a + 2]
    da die Nullstelle x2 stets links von der Intervallgrenze liegt.


    Es gibt keine Nullstelle im Intervall und es ist keine abschnittsweise Berechnung der Fläche notwendig.


    3. Bildung der Stammfunktion: ich behandle den Parameter wie einen Koeffizienten,
    aber trotzdem muss der Parameter erhalten bleiben:
    f(x) = x² - (a + 2)x + a + 1
    F(x) = ⅓x³ - (a + 2)/2 x² + ax + x + C
    a+2
    4. Inhalt der Fläche: A = ∫ (x² - (a + 2)x + a + 1) dx
    0
    A = F(a+2) - F(0)
    a+2
    A = ⅓x³ - (a + 2)/2 x² + ax + x
    0
    A = (1/3(a + 2)³ -1/2(a + 2)² + (a + 1)(a + 2) – 0)
    A = 1/3(a + 2)(a² + 4a + 4) -1/2(a² + 4a + 4) + a² + 3a + 2
    A = 1/3(a³+6a²+12a+8) -1/2a² -2a -2 +a² +3a +2
    A = 1/3a³ +2a² +4a +8/3 +1/2a² +a = 1/3a³ +5/2a² +5a +8/3

    Bitte überarbeite Das letzte Posting nochmal durch die ganzen "Sonderzeichen" sieht kaum noch jemand wirklich durch.


    Aber eines kann ich dir auf den ersten Blick sagen bei der Flächenberechnung in abhängigkeit von a sind nur noch Glieder dritte,erster und nullter Ordnung vorhanden. Das a² kann also nicht sein.


    P.S. Versuch die Unicode-Ausdrücke gegen Wörter zu ersetzen.


    !!! Unicode geht LEIDER noch nicht !!!

    geg. : f(x) = x² - (a + 2)x + a + 1I [ 0 ; a + 2]


    ges. :1. Integrationsintervall auf Nullstellen untersuchen (ev. aufteilen)
    2. Nullstellen angeben mit Hilfe von Parameter a
    3. Stammfunktion bilden mit Hilfe von Parameter a
    4. Inhalt der Fläche A bestimmen
    Fläche A liegt über Intervall I zwischen Funktionsgraph und der x-Achse in
    Abhängigkeit von Parameter a ( a > 0 ; a Element N )



    1. Prüfung auf Nullstellen y = 0:


    x² - (a + 2)x + (a + 1) = 0 / p = (a + 2) q = (a + 1)
    x1/2 = - P/2 ±Wurzel ((- P/2)² - q)
    x1/2 = (a + 2)/2 ±Wurzel (( (a + 2)/2)² - (a + 1))
    x1/2 = (a + 2)/2 ±Wurzel (( (a + 2)/2)² - (a + 1))
    x1/2 = (a + 2)/2 ±Wurzel ( (a² + 4a + 4)/2 - (a + 1))
    x1/2 = (a + 2)/2 ±Wurzel ( a²/2 + 2a + 2 - a - 1)
    x1/2 = ( a /2 + 1) ±Wurzel ( a² /2 + a + 1)



    2. Nullstellen angeben:Da immer a > 0 gibt es immer einen positiven Wert unter
    der Wurzel und damit:


    x1 = ( a /2 + 1) +Wurzel ( a² /2 + a + 1)


    x2 = ( a /2 + 1) -Wurzel ( a² /2 + a + 1)




    Es stellt sich die Frage: Ist der Wert der Wurzel so groß, dass die Nullstelle im Intervall liegt?


    a = 1:
    x1 = 3/2 + Wurzel (5/2) ungefähr 3,0811 x1 größer als die rechte Intervallgrenze 3
    x2 = 3/2 - Wurzel (5/2) ungefähr -0,0811 x2 kleiner als die linke Intervallgrenze 0


    a = 2:
    x1 = 2 + Wurzel (5) ungefähr 4,2360x1 größer als die rechte Intervallgrenze 4
    x2 = 2 - Wurzel (5) ungefähr -0,2360x2 kleiner als die linke Intervallgrenze 0


    a = 3:
    x1= 5/2 + Wurzel (15/2)ungefähr 5,2386 x1 größer als die rechte Intervallgrenze 5
    x2= 5/2 - Wurzel (15/2)ungefähr -0,2386 x2 kleiner als die linke Intervallgrenze 0



    Vermutung: Der Wert der Wurzel ist stets größer als (a /2 + 1)
    ( a /2 + 1 )² = ( a² /4 + 1 ) < ( a² /2 + a + 1 )
    Die Vermutung ist bestätigt!



    Also gilt stets:


    x1 > 2( a /2 + 1) = a + 2
    x1 = ( a /2 + 1) +Wurzel ( a² /2 + a + 1) kein Element [0 ; a + 2]
    da die Nullstelle x1 stets rechts von der Intervallgrenze liegt.


    x2 > 0
    x2 = ( a /2 + 1) -Wurzel ( a² /2 + a + 1) kein Element [0 ; a + 2]
    da die Nullstelle x2 stets links von der Intervallgrenze liegt.



    Es gibt keine Nullstelle im Intervall und es ist keine abschnittsweise Berechnung der Fläche notwendig.



    3. Bildung der Stammfunktion: ich behandle den Parameter wie einen Koeffizienten,
    aber trotzdem muss der Parameter erhalten bleiben:
    f(x) = x² - (a + 2)x + a + 1
    F(x) = 1/3x³ - (a + 2)/2 x² + ax + x + C




    4. Inhalt der Fläche:
    A = Integeral (x² - (a + 2)x + a + 1) dx


    A = F(a+2) - F(0)


    A = 1/3x³ - (a + 2)/2 x² + ax + x


    A = (1/3(a + 2)³ -1/2(a + 2)³ + a(a + 2) + (a + 2) – 0)


    A = 1/3(a + 2)(a² + 4a + 4) -1/2(a + 2)(a² + 4a + 4) + a² + 2a + (a + 2)


    A = 1/3(a³ + 6a² + 12a + 8) -1/2(a³ + 6a² + 12a + 8) + a² + 2a + (a + 2)


    A = 1/3a³ + 2a² + 4a + 8/3 -1/2a³ - 2a² - 4a - 8/3 + a² + 2a + (a + 2)


    A = 1/3a³ + 2a² + 4a + 8/3 -1/2a³ - 1a² - 2a - 8/3 + (a + 2)


    A = -1/6a³ + 1a² + 2a + (a + 2)



    Könnte Das so stimmen?
    Ich weiß nähmlich nicht mehr weiter!

    1. Prüfung auf Nullstellen y = 0:


    Da ist dir beim Quadrieren in der Wurzel ein Fehler unterlaufen.
    Richtig wäre: x1/2 = (a +2)/2 ±Wurzel ( a² /2)


    2. Nullstellen angeben

    Zitat


    Da immer a > 0 gibt es immer einen positiven Wert unter der Wurzel und damit:


    x1 = ( a /2 + 1) +Wurzel ( a² /2 + a + 1)
    x2 = ( a /2 + 1) -Wurzel ( a² /2 + a + 1)


    Richtig gefolgert. Nur leider stimmt der Wurzelausdruck nicht.


    Denn Rest schau ich mir mal schnell noch an. Ich schätz mal, dass du den ein oder anderen Folgefehler hast.

    zu 2.)


    Man erhält folgende NST:


    X1 = (a+2)/2 - Wurzel (a²/4 ) = (a+2)/2 - (a/2) = 2/2 = 1
    X2 = (a+2)/2 + Wurzel (a²/4 ) = (a+2)/2 - (a/2) = a+1


    Nun müsste man eigentlich einen allgemeinen Beweis führen in welchem Intervall von a welche Möglichkeiten vorkommen.


    1. NST immer bei 1
    --> 1. Integrationsintervall I1 = [0 ; 1]
    2. NST bei a+1
    --> 2. I.-Intervall I2 = [1; a+1]
    Da a+1 < a+2
    --> 3. I.-Intervall I3 = [a+1; a+2]


    Das dürfte schon reichen.


    Zu 3.

    Zitat


    F(x) = 1/3x³ - (a + 2)/2 x² + ax + x + C


    Richtig! Aber du musst später noch deutlich machen, dass die Integrationskonstante C = 0 ist. Oder du rechnest alles mit 2 Parametern (a und C), was sicher wenig sinnvoll ist.


    zu 4.


    Da du nun die Intervalle hast kannst du nun eigentlich leicht die einzelnen Flächen ausrechnen und addieren.


    Tipp! Versuch dir erst einmal den Graphen vorzustellen oder zu skizzieren (benutze evtl. bekannte signifikante Punkte z.B. NST)


    P.S. Stell bitte deine Ergebnisse nochmals ins Forum

    Beim Quadrieren in der Wurzel hast du vergessen die 2 unter (p/2)² zu quadrieren.



    Ich hoffe du siehst den Fehler.

    Ich soll diese aufgabe erstmal allgemeingültig lösen, also ohne irgendwelche Zahlen!!


    Als Lösung sollen allgemein die Nullstellen, die Stammfunktion und eine Formel für den Flächeninhalt angegeben werden.


    Den Graphen ahbe ich schon skizziert.
    Ich sehe das bei 1 eine gemeinsame Nullstelle ist und bei a+1 jeweils die spezielle für den Parameter liegt, oder?


    Ich stelle nach meinem Rechnen nochmal die Ergebnisse da.

    Lsg. :


    1. Prüfung auf Nullstellen y = 0:x² - (a + 2)x + (a + 1) = 0 / p = (a + 2) q = (a + 1)
    x1/2 = - P/2 ±wurzel((- P/2)² - q)
    x1/2 = (a + 2)/2 ± wurzel(( (a + 2)/2)² - (a + 1))
    x1/2 = (a + 2)/2 ± wurzel(( (a + 2)/2)² - (a + 1))
    x1/2 = (a + 2)/2 ± wurzel( (a² + 4a + 4)/4 - (a + 1))
    x1/2 = (a + 2)/2 ±wurzel ( a²/4 )x1 = (a + 2)/2 - wurzel( a² /4 ) = (a + 2)/2 –( a /2) = 2/2 = 1
    x2 = (a + 2)/2 +wurzel( a² /4 ) = (a + 2)/2 +( a /2) = 2/2 = a+1


    Prüfung mit Mitternachtsformel:x² - (a + 2)x + (a + 1) = 0
    cx² + dx + e = 0 / c = 1 d = (a + 2) e = (a + 1)
    x1/2 = (- d ± wurzel(d² - 4ce)) / 2c
    x1/2 = (-(-(a + 2)) ±wurzel (-(a + 2)² - 4 * 1 * (a + 1)))/2 * 1
    x1/2 = ((a + 2) ± wurzel(a² + 4a + 4 - 4a - 4))/2
    x1/2 = (a + 2 ± wurzel(a²))/2
    x1/2 = (a + 2 ± a)/2
    x1 = (a + 2 - a)/2 = 2/2 = 1
    x2 = (a + 2 + a)/2 = 2 * (a + 1)/2 = a + 1




    2. Nullstellen angeben:Da immer a > 0 gibt es immer einen positiven Wert unter
    der Wurzel und damit:


    x1 = 1Element [0 ; a + 2]
    x2 = a + 1Element [0 ; a + 2]



    Überprüfung der Nullstellen anhand verschiedener Größen des Parameter:


    a = 1:x1 = (1 + 2)/2 -wurzel ( 1² /4 ) = 1 x1 liegt im Intervall [0 ; 3]
    x2 = (1 + 2)/2 + wurzel( 1² /4 ) = 2x2 liegt im Intervall [0 ; 3]


    a = 2:x1 = (2 + 2)/2 -wurzel ( 2² /4 ) = 1 x1 liegt im Intervall [0 ; 4]
    x2 = (2 + 2)/2 + wurzel( 2² /4 ) = 3 x2 liegt im Intervall [0 ; 4]


    a = 3:x1 = (3 + 2)/2 -wurzel ( 3² /4 ) = 1 x1 liegt im Intervall [0 ; 5]
    x1 = (3 + 2)/2 +wurzel ( 3² /4 ) = 4 x2 liegt im Intervall [0 ; 5]


    Das Integral ist also folgenderweise aufzuteilen:


    Die erste Nullstelle liegt immer bei 1 1. Integrationsintervall I1 [0 ; 1]
    Die zweite Nullstelle liegt immer bei a + 1 2. Integrationsintervall I2 [1 ; a + 1]
    Da a + 1 < a + 2 3. Integrationsintervall I3 [a + 1 ; a + 2]


    (Natürlich fällt das 2. Integrationsintervall weg, wenn Parameter a = 0 ist, aber man
    könnte es trotzdem mitrechnen, da sich das Ergebnis (die Größe der Fläche) nicht
    ändern wird. Außerdem kann das in der Abhängigkeit a > 0 nicht passieren.)



    3. Bildung der Stammfunktion: ich behandle den Parameter wie einen Koeffizienten,
    aber trotzdem muss der Parameter erhalten bleiben:


    f(x) = x² - (a + 2)x + a + 1
    F(x) = 1/3x³ - (a + 2)/2 x² + ax + x + C


    (C = Konstante; auf Sie wird verzichtet da Grenzen
    gegeben sind)


    F(x) = 1/3x³ - (a + 2)/2 x² + ax + x



    1 a + 1
    4. Inhalt der Fläche: A = ∫ (x² - (a + 2)x + a + 1) dx + ∫ (x² - (a + 2)x + a + 1) dx
    0 a + 2 1
    + ∫ (x² - (a + 2)x + a + 1) dx
    a + 1


    A = (F(1) - F(0)) + (F(a + 1) – F(1)) + (F(a + 2) – F(a + 1))


    1 a + 1
    A = 1/3x³ - (a + 2)/2 x² + ax + x + 1/3x³ - (a + 2)/2 x² + ax + x
    0 1
    a + 2
    + 1/3x³ - (a + 2)/2 x² + ax + x
    a + 1

    Was folgendes soll weis ich zwar nicht, da ich es als vollkommen überflüssig ansehe.


    Es reicht anzugeben:


    1. NST: X1 = 1;
    2. NST: X2 = a+1;


    natürlich mit Lösungsweg (1-2 Zwischenschritte reichen)


    Daraus ergeben sich folgende Integrationsintervalle:


    1. NST immer bei 1
    --> 1. Integrationsintervall I1 = [0 ; 1]
    2. NST bei a+1
    --> 2. I.-Intervall I2 = [1; a+1]
    Da a+1 < a+2
    --> 3. I.-Intervall I3 = [a+1; a+2]


    Mail mir mal bitte die Sachen mit der Fläche zwischen Graph und X-Achse.