Extremwertaufgaben

    Hallo
    könnt ihr mir bitte bei dieser Aufgabe helfen, ich bräuchte den Anfang wie ich am besten beginnen sollte.


    1.) Eine Parabel 3. Ordnung hat dieselben Achsenschnittpunkte wie die Parabel mit der Gleichung y= 2x - 1/3x³. Beide Parabeln schneiden sich im Ursprung orthogonal.


    Das hab ich schon mal!
    f(x)= ax³+ bx²+ cx+ d



    2.)


    Eine bezüglich der y-Achse symmetrische Parabel 4. Ordnung hat in P eine Wendetangente mit der Steigung m. Bestimme alle extrempunkte (erste Ableitung) der Parabel.


    f(x)= ax^4 + bx³ + cx² + dx + e


    a.)P(2/0); m= -4/3
    b.)P(3/2 /-3); m= -3
    c.)P(1/0); m= 1
    d.)P(1/3 / 1/3); m= -8/9



    3.)


    a.) Bestimme t so, dass die Wendetangente an das Schaubild von f mit f(x)= x³- tx² +1 durch den Ursprung geht. (nach t ausrechnen???)
    b.) Extrem- und Wendestellen (erste und zweite Ableitung)
    c.) Zeigen das die Funktion zwischen -3,5 und -3 eine Nullstelle hat, bestimme der ersten dezimalen dieser Nullstelle



    Danke im Vorraus.

    ad 1)


    Wenn du für y(x) = 2x - 1/3 * x^3 den Schnittpunkt mit den Koordinatenachsen ausrechnest, stellst du fest, dass die Funktion genau durch den Nullpunkt geht und die x-Achse bei x=Wurzel(6) und x=-Wurzel(6) schneidet.
    Die Schnittpunkte sind also (0,0), (sqrt(6),0), (-sqrt(6),0)


    (sqrt bedeute Wurzel)


    Damit f(x) = a*x^3 + b*x^2 + c*x + d auch durch den Ursprung geht muss d=0 sein, denn f(0) = 0 -> d=0


    Ebenso muss f(sqrt(6)) = 0 und f(-sqrt(6))=0 sein.


    Damit hast du ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 3 Unbekannten.


    Die 3. Gleichung erhälst du über das orthogonale Schneiden im Ursprung.
    Wenn sich 2 Funktionen orthogonal (also rechtwinklig) schneiden gilt: m1 * m2 = -1. Also das Produkt der beiden Anstiege im Schnittpunkt ist gleich -1.


    Der Anstieg von y(x) im Ursprung:
    Anstieg = 1. Ableitung --> y'(x) = 2 - x^2 --> y'(0) = 2


    Der Anstieg von f(x) im Ursprung:
    1. Ableitung --> f'(x) = 3a*x^2 + 2b*x + c --> f'(0) = c


    Also gilt: 2*c = -1 --> c = -1/2


    Jetzt hast du nur noch ein Gleichungsystem mit 2 Gleichungen und 2 Unbekannten, nämlich a und b.


    Hier mal das Gleichungssystem:


    0 = a * (sqrt(6))^3 + 6b - 1/2*sqrt(6) = 6*sqrt(6)*a + 6b - 1/2*sqrt(6)


    0 = a * (-sqrt(6))^3 + 6b + 1/2*sqrt(6) = -6*sqrt(6)*a + 6b + 1/2*sqrt(6)


    Man erhält für a = 1/12 und für b=0.


    (2.,3. kommen noch)

    ad 2)


    Wenn die gesuchte Funktion symmetrisch zur y-Achse sein soll, dann ist es eine gerade Funktion. Also:


    f(x) = ax^4 + bx^2 + c
    f'(x) = 4ax^3 + 2bx
    f''(x) = 12ax^2 + 2b


    Ich zeige da mal am Bsp. a)


    --> Im Pkt P(2/0) eine Wendetangente, d.h. f(x) muss Pkt. erfüllen, also f(2) = 0 (1.Gleichung)

    --> Wendetangente => P(2/0) ist Wendepunkt, also 2. Ableitung bei x=2 ist 0, d.h. f''(2) = 0 (2. Gleichung)


    --> Wendetangente hat Anstieg m = -4/3, der Anstieg der Funktion f(x) ist im Wendepunt auch m = -4/3
    Also f'(2) = -4/3 (3. Gleichung)


    Jetzt hast du 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten. Gleichungssystem lösen und Extremas mittel 1.Ableitung ausrechnen.

    ad 3)


    a)
    f(x) = x^3 - tx^2 +1
    f'(x) = 3x^2 - 2tx
    f''(x) = 6x - 2t


    Wendepunkt (WP) ausrechnen --> f''(x) = 0 --> x=1/3*t
    y-Wert des WP: x in f(x) einsetzen --> f(1/3*t )= -2/27*t^3 +1
    d.h. der WP ist ( 1/3*t / -2/27*t^3 + 1 )


    Anstieg im WP ausrechnen --> x in f'(x) einsetzen --> f'(1/3*t ) = -1/3*t^2


    jetzt hast du also den WP und den Anstieg. Mittels einer Geradengleichung y(x) = m*x + n kannst du t bestimmen, wobei n=0 ist, da die Tangente durch den Ursprung gehen soll.


    Also -2/27*t^3 +1 = -1/3*t^2 * 1/3*t --> nach t umstellen.



    b) für Extrema: f'(x) allgemein lösen
    also f'(x) = 3x^2 - 2tx = 0 --> x= 0 und x= 3/2*t
    bei Wendestellen genauso
    f''(x) = 6x - 2t = 0 --> x=1/3*t (du hast schon bei a) gemacht)


    c)
    Ich denke, hier sollst du das nicht allgemein machen, sondern in deine Funkton schon dein ausgerechnetes t einsetzen.
    Setze dann mal in f(x) einmal -3,5 und -3 ein. Du wirst sehen, dass einmal -41/8 und einmal 1 rauskommt. D.h. du hast einen negativen Wert und einmal einen positiven. Das bedeutet es muss eine Nullstelle dazwischen geben.


    Mit dem Newton-Verfahren(Tangentenannäherungsverfahren) oder Regula Falsi(Sekantenannäherungsverfahren) kannst du die NST bis zur gewünschten Dezimalstelle ausrechnen


    Ergänzung zu c) Auch mit dem Taschenrechner probieren ist eine anerkannte Lösungsmöglichkeit. Einfach ein paar Werte zw. -3,5 und -3 eingeben und dann sehen welcher Wert am dichtesten bei 0 liegt.