Folgen und Reihen

    Hallo Leute!!!


    Brauche umbedingt eure Hilfe!! Hab demnächst Schularbeit und habe meine Probleme mit dem Thema: Folgen und Reihen ;(


    Ich bin gerade dabei ein paar Übungen zu machen, aber ich komm einfach nicht drauf, wies funktioniert!! ?(


    Also es geht um folgendes:


    Ein Verdünnungsprozess wird so durchgeführt, dass man aus einem Behälter von 10 Liter Essenz 1 Liter entnimmt und durch Wasser ersetzt. Aus dieser Mischung entnimmt man wieder 1 Liter und ersetzt diesen durch reines Wasser.
    a) Nach wie vielen Mischvorgängen ist nur noch 59% Essenz in der Mischung??
    b) Wieviel % sind noch nach 10 Mischungen vorhanden??


    Ich hoffe, ihr könnt mir bei dieser Aufgabe helfen. Ich selber verstehe nämlich nur Bahnhof. ?(


    Bitte helft mir!! Danke schon im voraus!! ;)

    Hi,


    werde erstmal hauptsächlich die Formel posten. Mit der Erklärung muss ich mir noch was einfallen lassen.


    V0 = 100% Essenz


    1l austauschen --> 10l / 9l = 100% / V1 --> V1 = 90%
    (diese Verhältnisformel kommt in allen V's bei mir vor, nur eben schon nach V immer umgestellt. Die 100% muss man nach jedem Tauschen, durch das aktuelle Mischungsverhältnis ersetzen)


    V1 = 100% * 9l /10l = 90%


    wieder 1l austauschen --> man muss von dem neuen Mischungverhältnis, also 90%, ausgehen


    V2 = 90% * 9l / 10l = V1 * 9l / 10l = 100% * 9l / 10l * 9l /10l = 100% * 0,9 *0,9 = 100% * (0,9)^2 = 81%


    wieder 1l tauschen, Mischungsverhältnis war jetzt 81%
    (wir tauschen jetzt zum 3. Mal 1 Liter, deswegen auch V3 usw)


    V3 = 81% * 9l / 10l = V2*0,9 = 100%*(0,9)^2 * 0,9 = 100% * (0,9)^3 = 72,9 %


    somit ist dann für weitere Mischungen:


    V4 = 100% * (0,9)^4 = 65,61 %


    allgemein (das ist durch gutes hinsehen erkennbar):


    Vn = 100% * (0,9)^n (also zum n. Mal 1-Liter getauscht.)



    Die letzte Formel ist damit die wichtigste, weil man mit ihr jetzt alles berechnen kann. Sie gibt an, wie groß das Mischungsverhältnis nach n-Tauschvorgängen ist.


    a) also Vn soll gleich 59% sein.
    --> Vn = 59% = 100% * (0,9)^n
    --> 0,59 = (0,9)^n --> n = ln(0,59) / ln(0,9) --> n = 5


    d.h. nach 5 Tauschvorgängen sind 59% erreicht


    b) na und wieviel % nach 10 Mischungen erreicht sind kannst ja leicht selber ausrechnen. Einfach in der Vn-Formel für n = 10 einsetzen.


    Falls Fragen sind, nur zu. Das war jetzt mal ne Erklärung mit Formeln. Warum das so funtkioniert, hattet ihr hoffentlich im Unterricht. Hab nämlich festgestellt, dass das gar nicht so leicht aufzuschreiben ist. :rolleyes:

    @ Interstar


    Hey danke für die rasche Antwort!!! Find ich echt cool dieses Forum.


    Ich hätte da noch eine Bitte an dich, wenns nicht zu viel arbeit macht!!!


    Bei diesem Beispiel steh ich auch ganz schön auf der Leitung:


    Eine Eisenkernspule von 1 cm Durchmesser und 5 cm Länge ist mit einem 0,2 cm starken Kupferdraht umwickelt. Die Schicht der Wicklungen ist 1 cm dick.
    Wie lang ist das verwendete Material??


    Also wenn du mir dieses Beispiel auch noch lösen könntest dann wär ich dir sehr dankbar!!!

    also der Draht wird ja um die Spule (Zylinderform) gewickelt.
    Ein Umwicklung ist genau so lang wie der Umfang der Spule.


    U = pi * d = 3,14 cm


    Wieviele Umwicklungen passen aber nebeneinander? Na die Spule ist 5cm lang, der Draht 0,2cm dick --> 25 Umwicklungen


    d.h. wenn wir die Spule komplett einmal umwickeln möchten, brauchen wir einen Draht der L = 25 * U = 78,53 cm lang ist.


    Nun ist aber die Spule mehr als einmal komplett umwickelt, nämlich 1cm hoch (1cm dicke Schicht). Da der Draht 0,2cm dick ist passen 5 Drähte übereinander.
    --> Die Spule ist 5 mal komplett umwickelt
    --> der gesamte Draht ist Lg = L * 5 = 392,69 cm.

    Ich habe nun selber ein Beispiel probiert, aber ich komm einfach nicht drauf!!!


    Also die Aufgabenstellung lautet:


    Das letzte Glied einer AR mit der Differenz d=3 ist 30. Die Summe der Glieder beträgt 147. Man brechne die Anzahl der Gliederund gebe die Reihe an!


    Soweit bin ich gekommen:


    Sn=147
    d=10
    A=30


    An=30+10*(n-1)
    An=10n+20


    147=30+10n+20/2 *n
    147=(25+5n) *n
    147=25n+5n²
    0=5n²+25n-147
    0=n²+5n-29,4


    n=-2,5+Wurzel[(2,5)²+29,4] n=3,47
    n=-2,5-Wurzel[(2,5)²+29,4] n=-8,47


    Aber herauskommen sollte: n=7 bzw n=14


    Kann mir wer sagen wieso??? Was mache ich falsch???


    Danke

    Also dein Lösungsansatz ist denke ich mal falsch.


    Im Tafelwerk/Formelsammlung findest du für eine AR die Formel:


    sn = n*A + (n-1)*n/2 * d


    Die Formel gilt, wenn A das Anfangsglied ist und man Vorwärts zählt (positives d). Bei dir ist A das Endglied. Deswegen musst du rückwärts zählen (negatives d).
    Also lautet die Formel, wenn man oben ein negatives d einsetzt:


    sn = n*A - (n-1)*n/2 * d


    -->


    147 = 30*n - (n-1)*n/2 * 3


    --> das kannst du jetzt nach n umstellen.