Differentialgleichungen

    Die Diffenerentialgleichung ´beschreibt ja einen pendelnden Körper der Masse m auf einem Kreisstück.


    Jede seite gibt dabei die Kraft an, die den Körper auf dieser kreisbahn beschleunigt. Nur eben auf zwei unterschiedliche weisen.


    Rechte Seite: Analog den newtonschen Axiomen (Masse mal Beschleunigung). g · sin φ beschriebt dabei die wirksamme komponente der Erdanziehungskraft.


    Linke Seite: Ebenfalls gemäß den newtonschen Axiomen wird hier die Beschleunigung aus der Winkelbeschleunigung φ'' genommen. Durch die länge l (entspricht dem Radius der Kreisbahn) des Pendels kann man daraus dann die Bahnbeschleunigung a ausrechnen.

    rechte Seite ist klar:
    FR=-G sin( α )
    FR=-m g sin( α )


    wie ich die beiden verbinde ist auch klar, denn nach newtonschem Axiom ist
    FR=-FF


    aber das wie ich zu FF komme verstehe ich immer noch nicht.
    Ich hab gesucht und gesucht aber ich finde keine Formel für die Winkelbeschleunigung in Bezug auf die Kraft.

    Zitat

    Original von Sashimi
    rechte Seite ist klar:
    FR=-G sin( α )
    FR=-m l sin( α )


    Haben die beiden Gleichungen was miteinander zu tun? Was soll G sein? die 2. Gleichung macht auch keinen Sinn bzw ist falsch


    FF = m · a = m · α & middot; r = m · α & middot; l


    α = φ'' ... Winkelbeschleunigung


    Das sind einfache Beziehungen am Kreis

    Das oben war ein Tippfehler, sorry, hab ich berichtigt, ich meinte nämlich G die Gewichtskraft G=mg


    zur Differentialgleichung zu kommen ist nun nicht mehr schwer. Ich brauche die aber auch in einer abgewandelten Form und zwar muss - m g sin φ zu - mg/l φ werden, also
    0= m φ '' + mg/l φ


    Dasselbe würde ich noch gerne für das Pendel machen, da finde ich aber nicht die Spann- und kinetische Kraft sondern lediglich die Energien...

    gut, sowas ähnliches steht auch bei mir im Schulbuch, nur benutzen wir solche ungefähren Angaben fast nie in unseren Formeln.


    Das Problem ist aber noch das l, das versteh ich einfach noch nicht.
    F= m a = m φ''
    wo ist da der Radius der Kreisbahn angegeben?

    l ist die Länge des Fadenpendels. Der Pendelkörper bewegt sich auf eienr Kreisbahn (faden immer gespannt), somit ist die Pändellänge gleich dem Radius dieser Kreisbahn. Aus den Beziehungen am Kreis


    s = r · φ
    v = r · φ'
    a = r · φ''


    kann man dann die Beschleunigung angeben

    gut dann komme ich jetzt Problemlos zu ω


    FG=- FF


    FG= m g sin φ = m g φ
    FF= m a = m r φ'' = m l φ''


    m g φ = - m l φ''


    φ (t)= φ (Dach) sin ωt (diese Formel kennen wir ja noch vom Wechselstron ^^)
    φ''(t)= - φ (Dach) ω² sin ωt
    Einsetzen:


    m g φ (Dach) sin ωt = m l φ (Dach) ω² sin ωt |:mφ (Dach)sin
    g = l ω² |:l | √
    √ (g/l) = ω


    Endlich.
    So dasselbe benötige ich nun für das Federpendel.
    Hier sieht das ganze für mich ja schon einfacher aus:


    Es wirken 2 Kräfte:
    Einmal die Federkraft, nach dem Hookschen Gesetz:
    FF= Ds
    Dann noch einmal das Newtonsche Axiom
    FM= ma


    Nun beides Gleichsetzen:
    D s =- m a


    a= d²s/dt²


    s(t)=s(Dach) sin ωt
    s''(t)=- s(dach) ω² sin ωt
    Einsetzen


    D s(Dach) sin ωt = m s(dach) ω² sin ωt |: s(Dach) sin
    D = m ω² |:m | √
    √ (D/m) = ω


    Aus wiki stand bei s(t) der cosinus... Wieso?

    habs jetzt nur grob durchgeschaut, sieht aber gut aus.


    Das du sinus und die in der wiki cosinus nehemen ist definitionssache. Beide sind ja nur um 90° verschoben. Bei dir ist der körper zu t=0 in der ruhe lage, in der wiki an einem umkehrpunkt (sozusagen spannen und loslassen)
    Richtig sein sollte beides (glaub ich)

    Kannst du mir auch erklären wie man zu der Formel
    s(t)=s(Dach) sin (ωt) kommt.
    Die steht so schön auf wiki und in meinen Büchern lässt sich auch auf alle mir bekannten Schwingungen übertragen(elektromagnetische, Federpendel, Pendel), aber erklärt wird sie nirgendwo.