Intervallhalbierungsverfahren und tangente

    Zwei kleine probleme... wir sollten uns einige Sieten durchlesen und Aufgaben dazu lösen.


    Zur ersten: Bestimmen Sie die kleinste positive Schnittstelle von f(x)=e^x und g(x)= 2*x²


    So, ich habe beide gezeichnet und mein Startintervall ist [1,4|1,6]


    So nun hab ich 1,4 in beide eingesetzt und da kommt raus


    f(1,4) > g(1,4)
    und das gleiche mit 1,6
    f(1,6) < g(1,6)


    und nun weiß ich nicht weiter, in welche richtung muss ich nun das intervall halbieren? das wird mir bei dem beispiel im buch nicht klar


    und nun das zweite Problem


    wie gesagt hab ich das beispiel und es ist eine rechnung gezeigt und ich weiß nicht, wie sie von einer zu anderen zweie kommen


    t(x) = f'(1)*(x-1)+f(1)
    t(x) = 0,5*e^0,5*(x-1)+e°0,5
    nun der sprung den ich nicht nachvollziehen kann
    t(x) = 0,5*e^0,5*x+0,5*e^0,5


    schonmal dankeschön =)

    Also bei der ersten Aufgabe würde ich den Ansatz f(x) - g(x) = 0 also e^x - 2*x² = 0 wählen


    Das kann man natürlich nicht algebraisch auflösen


    Aus diesem Grunde versucht man die Lösung nummerisch zu finden. Am einfachsten geht das meiner Meinung mit dem Newton-Verfahren



    Wichtig für die Lösung ist da natürlich ein geeigneter Startwert für die kleinste positive Schnittstelle liegst du mit dem Startwert X=1,4 schon ganz gut.


    Wenn du es manuell mit der Intervalleingrenzung machen willst oder musst musst du dich nach der Richtung der Größer/Kleinergleichzeichen richten. die sollten in die selbe richtung zeigen sollange sie in unterschiedliche Richtungen zeigen hast du die Stelle überschritten. (Erklärt sich sehr blöd)


    Das ist im Prinzip das Newton-Verfahren


    So musst du der Nächse vergleichswert wäre dann 1,5 also entweder 1,4 + 0,2/2 oder 1,6-0,2/2.

    Zitat

    Original von scherbenkind


    t(x) = f'(1)*(x-1)+f(1)
    t(x) = 0,5*e^0,5*(x-1)+e°0,5
    nun der sprung den ich nicht nachvollziehen kann
    t(x) = 0,5*e^0,5*x+0,5*e^0,5


    schonmal dankeschön =)


    Was ist gegeben und was ist das Ziel beid er Aufgabe?

    zum ersten, ich hab nicht ganz verstanden wieso ich das intervall in jene oder andere richtung ändern soll O.o


    [edit] also ich meine ob ich als nächstes intervall nun 1,45 oder 1,55 nehme, weißt was ich meine?


    und das zweite hat sich erledigt, die haben da eine tangentengleichung aufgestellt und das ganze bei der zteile nur ausmultipliziert und zusammengfasst. das hab ich nicht erkannt.



    und eine nächste frage, was ist eine additive überlagerung?
    ich soll einen graphen mit hilfer dieser technik skizzieren und ich hab keine idee was das sein soll

    mmhh gute Frage, ich denk mal du sollst eine Funktion wie e^x - 2*x² skizzieren oder? Von daher du hast eine Grundfunktion wie e^x überlagerst die mit 2x². Sozusagen addierst du für jeden wert vone^x die 2. Funktion und zeichnest dann die einzelnen Punkte. Ob das Richtig ist oder wie ich es verständlicher formulieren kann weiss ich jetzt leider nicht


    Additive Überlagerung als Begriff kenn ich nur aus der NAchrichtentechnik oder der Optik

    Achso zur ersten Aufgabe


    Du hast


    f(1,4) > g(1,4)


    f(1,6) < g(1,6)


    Und siehst dass es eine Änderung gab. g ist bei 1,6 plötzlich größer als f (anders als bei 1,4). Daraus kannst du bei stetigen Funktion folgern, dass der Schnittpunkt Zwischen 1,4 und 1,6 liegt. Nun musst du das Intervall immer weiter verkleinern (optimum ist eine Interfallhalbierung).


    Das heißt du musst dir nun einen festen Vergleichspunkt für deine die nächste Iteration suchen. Nimmst du die 1,4 dann wäre nach der Intervallhalbierung dein Intervall von 1,4 bis 1,5 nun vergleichst du wieder.


    Und du stellst fest dass f(1,5) < g(1,5) gilt. Also halbierst du wieder das Intervall --> [1,4;1,45]


    nun stellst du fest dass f(1,45) > g(1,45) also dein Intervall den Schnittpunkt nicht enthällt. Du nimmst also die Andere Hälfte der vorherigen Intervallhalbierung.


    Das geht bei einigen Funktionen natürlich bis in die unendlichkeit. Von daher musst du dir eine Abbruchbedingung setzen. Das heisst wie genau du den Wert haben möchtest. wenn sich der Wert in der 5. Nachkommastelle nicht mehr ändert kann man im Normalfall spätestens aufhören :D