Algebraische Strukturen

Zitat

Original von Timo
Bilde die Menge aller Vektoren mit Addition als Verknüpfung (X;+)

Ich glaub du hast dich vertippt, oder? Weil ich weiss nicht sicher, was du überhaupt machen sollst !?
Nur mal kurz:
Eine Gruppe genügt z.B folgenden Axiomen:
sei * l die zugrundeliegende verknüpfung- das könnte beispielsweise eine multiplikation oder addition sein-, dann muss gelten
G0: *:GxG-> G (Abgeschlossenheit: Dh du verknüpfst die beiden elemente, und die die verknüpfung liegt wieder in G
G1: Assoziativität
G2: Es gibt ein neutrales Element e : e*a=a*e=a für alle a aus G
G3: Es gibt ein inverses Element:zu jedem a, gibt's ein b, so dass gilt: a*b=b*a=e ...
....

Debelix meinte wohl, dass du in deiner Aufgabenstellung einen Tippfehler drin hast.

Zitat

Bildet die Menge aller Vektoren mit Addition als Verknüpfung (X;+)

a)eine Gruppe
c)einer Abelschen Gruppe
e)ein Schiefkörper
f)ein Kröper

Also das ganze als Frage aufgefasst.
Der Hinweis von Debelix ist, dass du dir die genaue Definition der einzelnen Bezeichungen anschauen kannst, und pruefst, ob die Addition von Vektoren die Definition erfuellen.

Ich habe jetzt wenig Zeit, werde aber im laufe des Tages noch was dazu schreiben.

Zitat

Danke nochmals für deine Erklärung aber das ist mir selber schon geläufig

Da du ja anscheinend die Definitionen kennst, führe ich das mal am Beispiel der Gruppe vor.

Ich beziehe mich mal da auf die Punkte von Debelix:

1) Die Addition zweier Vektoren aus einem Vektorraum ergibt wieder ein Vektor im selben Vektorraum.
(Man müsste das natürlich beweisen, einzusehen ist das aber leicht)
(Falls dich der Begriff Vektorraum stört, kann man Vektoren auch erstmal als Zahlenpaare (Tripel, etc.) auffassen, wobei die Zahlen aus der Menge R stammen können. Ein Addition in R ergibt wieder eine Zahl in R. Führt man das für alle Komponenten des Vektors aus, erhält man das alle Komponenten in R bleiben. Da nur Vektoren aus der gleichen Menge (Dimension!) addiert werden, ergibt sich auch ein Vektor, der die gleiche Anzahl von Komponenen hat. Damit ist er dann wieder ein Vektor aus der Menge der beiden Ursprungsvektoren. Das ist eigentlich schon der Beweisansatz.)

2) Assoziativität liegt vor, denn a+(b+c) = (a+b)+c

3) es gibt ein neutrales Element (Einselement):
Bei den Vektoren ist das der Nullvektor, denn a+0 =0+a = a

4) es gibt ein inverses Element:
Das ist der Gegenvektor(inverse Vektor), also vom Vektor a, der Vektor -a, denn a+ (-a) = (-a) + a = 0, ergibt also das neutrale Element.

Damit sind die Bedingungen für eine Gruppe erfüllt.

Die Addition der Vektoren ist auch kommutativ, denn es gilt a+b = b+a

Damit ist auch die Bedingung für eine Abelsche Gruppe erfüllt.

(0,a,b Elemente des Vektorraums)

Mit Körper und Schiefkörper wird das schwierig, weil für die Definition eines Körpers (und damit auch Schiefkörpers) eigentlich 2 Verknüpfungen existieren müssen (z.B. Addition und Multiplikation). Nur eine Verknüpfung ist nicht sinnvoll.

Wenn ich das richtig im Kopf habe bildet die Menge der Vektoren mit der Addition und dem Skalarprodukt als Multiplikation einen Körper.

Was hier natürlich fehlt, ist der exakte mathematische Beweis der jeweiligen Behauptungen.

Zitat

Gibt es im Internet einen Nachweis zum Nachvollziehen für die Abgeschlossenheit der abelschen Gruppe?

Was meinst du damit?

Eine abelsche Gruppe ist ja immer abgeschlossen und zwar per Definiton, denn sonst wäre es ja keine Gruppe.

Oder meinst du jetzt konkret deine Aufgabe?