Vektorielle Darstellung von Ebenen

    Hi,


    habe mal wieder ein paar Aufgaben :)


    1) Gegeben ist die Ebene E:x=(3/0/2)+r(2/1/7)+s(3/2/5)
    a)Liegen die Punkte A(8/3/14) und B(1/1/0) in der Ebene E?


    Habe einen Punkt genommen (A bzw. B) und habe den für x eingesetzt.Habe dann 3 Gleichungssysteme aufgestellt und r und s ausgerechnet.Habe herausbekommen das A in der Ebene liegt (r und s=1) und das B nicht in der Ebene liegt(r=-7,s=1).Stimmt das?Kann man das auch anders lösen?


    b)Bestimmen sie für p eine Zahl so,dass der Punkt P in der Ebene E liegt. P=(4/1/p)
    Habe dann eine Parametergleichung aufgestellt:
    (4/1/x)=(3/0/2)+r(2/1/7)+s(3/2/5)
    --->
    4=3+2s+3r --> s=-3/2r+0,5
    1=s+2r --> s=1-2r
    x=2+7s+5r


    s gleichgesetzt: s=1 und r=-1
    habe dann für p=0 heraus. Stimmt das?


    2)Die Punkte A(0/0/4),B(5/0/0) und C(0/4/0) legen eine Ebene E fest.
    Geben Sie eine Paramtergleichung von E an.


    Habe da dann e:x=(0/0/4)+r(5/0/-4)+s(0/4/-4). Korrekt?


    3) Geben Sie 2 verschiedene Paramtergleichungen der Ebene E an,die durch die Punkte A,B und C festgelegt ist.
    A(2/0/3),B(1/-1/5),C(3/-2/0)


    Habe da dann: e:x=(2/0/3)+r(-1/-1/2)+s(1/-2/-3)
    e:x=(3/-2/0)+r(-1/-1/2)+s(-1/2/3)
    Stimmt das?


    4)Eine Ebene E ist durch den Punkt P und die Gerade g eindeutig bestimmt.Geben Sie eine Paramtergleichung der Ebene an.
    g:x=(1/0/1)+r(2/1/3) ; P(5/-5/3)


    wäre das dann: e:x=(5/-5/3)+r(2/1/3) ?


    5) Eine Ebene kann nicht nur durch drei geeignete Punkte festgelegt werden,sondern auch durch einen Punkt und eine Gerade.Welche Bedingung müssen der Punkt und die Gerade erfüllen,damit sie eindeutig eine Ebene festlegen?


    Was kann man da sagen(Satz)?


    Vielen Dank im Voraus.


    MfG

    hi,


    Zu 1a)


    Nein es geht nur der weg über EIN Gleichungssystem mit 3 Gleichungen. Für die zwei parameter r und s muss in dem Fall dann ein eindeutiger Wert rauskommen. r und s sind im normalfall aber verschieden.



    A liegt in E (r=1, s=1)


    B liegt nicht auf E (keine eindeutige Lösung für r und s)


    b)
    Jupp das ist richtig.


    2.) ja das ist richtig, das ist eine mögliche Lösung


    3.)
    A(2/0/3),B(1/-1/5),C(3/-2/0)


    E: x=(2/0/3)+r(-1/-1/2)+s(1/-2/-3) richtig
    E: x=(3/-2/0)+r(-1/-1/2) +s(-1/2/3) das ist nicht richtig, hast du dich verschrieben?



    Zitat

    4)Eine Ebene E ist durch den Punkt P und die Gerade g eindeutig bestimmt.Geben Sie eine Paramtergleichung der Ebene an.
    g:x=(1/0/1)+r(2/1/3) ; P(5/-5/3)


    wäre das dann: e:x=(5/-5/3)+r(2/1/3) ?


    Nein das ist wahrscheinlich nur eine Paralelle Gerade zu g.


    Für eine Ebene brauchst du in der Parameterform 2 nichtlinearabhängige Richtungsvektoren



    5)


    Zitat

    Eine Ebene kann nicht nur durch drei geeignete Punkte festgelegt werden,sondern auch durch einen Punkt und eine Gerade.Welche Bedingung müssen der Punkt und die Gerade erfüllen,damit sie eindeutig eine Ebene festlegen?


    Das solte man eigentlich schon bei 4.) wissen.
    Der Punkt darf nicht auf der Geraden liegen. Ansonsten ist die Ebene nicht eindeutig.

    zu 5)


    Wäre das:


    "Der Punkt darf nicht auf der Geraden liegen. Ansonsten ist die Ebene nicht eindeutig."


    die Antwort auf die Frage?


    zu 4)
    Verstehe jetzt nicht wa sich da tun soll :(


    Im Prinzip ja, das ist die Bedingung.


    4.)
    Du hast
    g:x=(1/0/1)+r(2/1/3)
    und
    P(5/-5/3)


    r·(2/1/3) kanst du als einen Richtungsvektor der Ebene nehmen
    den zweiten musst du noch ermitteln.


    Dazu nimmt man einen Punkt der Gerade S und den Punkt P und bildet daraus den Differenzvektor. Also man bildet den Vektor SP


    dann bekommst du
    E:x=(1/0/1)+r·(2/1/3)+t·(SP)

    Das hast du doch schon bei 3) selbst erledigt. Sind jetzt nur halt andere Punkte, aber der Weg ist doch der gleiche.


    Mal ein Hinweis: Du kannst die Dreipunkteform (Dreipunktegleichung) benutzen, also


    Vektor x = A + r(B - A) + s(C - A)

    Alles klar,danke !


    Wie kann ich diese Aufgabe lösen:


    Gegeben ist eine Ebene E:x=(3/4/7)+r(1/0/1)+s(1/0/3).Geben Sie eine Gerade g an,die
    a)die Ebene E schneidet
    b)zur Ebene parallel ist und nicht in E liegt
    c)in der Ebene liegt.


    Weiß nicht wie ich das rechnen soll.


    Vielen Dank im Voraus.


    MfG

    a)
    Ist einfach, denn es schneidet JEDE Gerade die Ebene, die zur Ebene NICHT parallel ist.
    Das heißt, du kannst eine Gerade aufstellen mit irgendeinem Punkt der Ebene und z.B dem normalen Vektor der Ebene.


    c)
    Na du brauchst erstmal einen Richtungsvektor deiner Geraden, der parallel zur Ebene liegt und gleichzeitig in der Ebene. Denn kannst du doch mit deinen beiden Spannvektoren erstellen.
    Also deine Spannvektoren addiert ergeben einen Vektor der in der Ebene liegt (und damit auch zur Ebene parallel ist).
    Jetzt nimmst du noch irgendeinen Punkt der Ebene als Stützpunkt und schon hast du deine Gerade.


    b) Hier kannst du den gleichen Richtungsvektor wie bei c) nehmen, denn der ist ja zur Ebene parallel. Da man Vektoren beliebig verschieben kann, brauchst du jetzt nur noch einen Punkt außerhalb der Ebene und schon kannst du mit diesem Punkt und deinem Richtungsvektor eine Gerade bilden, die zur Ebene parallel liegt, aber eben nicht drin (weil ja der Stützpunkt nicht in der Ebene ist)

    Nein, denn sonst würde er ja Stützvektor heißen. :P


    Die Spannvektoren der Ebene, sind die Vektoren (1/0/1) und (1/0/3). Dein Stützvektor der Ebene ist ja (3/4/7).


    Zuerst c) rechnen. Dann b)


    Wie du c) rechnest habe ich doch schon geschrieben.
    Spannvektoren addieren --> Vektor der in der Ebene liegt
    Dieser bildet deinen Richtungsvektor der Gerade.
    Als Stützvektor der Gerade nimmst du einen beliebigen Punkt der Ebene (zum Beispiel den Stützvektor der Ebene)


    Für b) kannst du dann den gleichen Richtungsvektor aus c) für deine Gerade nehmen. Der Stützpunkt für deine Gerade muss aber ein anderer sein, nämlich einfach ein Punkt der nicht in der Ebene liegt.

    c) richtig (mir ist eingefallen, dass du noch nicht mal addieren bräuchtest, denn die Spannvektoren liegen ja auch in der Ebene, also hätte ein Spannvektor als Richtungsvektor genügt)


    b) na denke dir doch irgend einen Punkt aus, und teste ob der in der Ebene liegt. Wenn nicht, hast du einen gefunden, wenn ja dann denke dir einen neuen aus.
    (z.B. alle Punkte die in der y-Komponente 0 haben (z.B. (0,0,0) oder (1,0,5) oder (7,0,2), ach was weiß ich. Hauptsache die die 2. Zahl ist 0)), denn in den Spannvektoren steht in der y-Komponente jeweils 0, im Stützvektor aber 7. D.h. du kannst für r und s keine Zahl finden, dass 7 + 0r + 0s = 0 ist.


    a) Schreibfehler, meinte Normalenvektor, also der Vektor der senkrecht auf der Ebene steht.

    Der Normalenvektor steht senkrecht zur Ebene und damit auch senkrecht auf den beiden Spannvektoren. Wenn du das Kreuzprodukt kennst, kannst du mit (1/0/1) x (1/0/3) = n einen Normalenvektor n berechnen.