Kugel & Kreis

    Ich bräuchte ganz dringen Hilfe bei einer Aufgabe und wäre euch für Hilfe wirklich sehr dankbar!
    Lösungsansätze hab ich vll schon...


    Aufgabe:


    Gegeben sind die Kugeloberfläche K und die Gerade gp.


    K: x * x = 15


    gp: x = (1; 1; p) + µ (0; 1; 0)


    a) Bestimme p so, dass der Geraden gp Tangenten an die Kugeloberfläche sind.


    Hm, bisher haben wir an eine Kugel nur Tangentialebenen aufgestellt mittels der Formel r[UP]2[/UP] = MX * MA
    Aber wie funktioniert das mit Tangenten??


    b) Zeige, dass die zwei in a) gefundenen Tangenten zueinander Parallel sind.


    Da bin ich mir eigentlich recht sicher wie es geht:
    -> die Richtungsvektoren auf lineare Abhängigkeit überprüfen
    -> wenn linear angängig sind sie parrallel oder identisch
    -> gleichsetzen, wenn man keinen Schnittpunkt erhält parallel


    stimmts?


    c) Berechne den kürzesten Abstand dieser beiden Tangenten.


    hm, wahrscheinlich bestimmt man erstmal den Normalenvektor, der senkrecht auf den beiden Geraden steht.
    hm, ja dann weiß ich nicht so recht, stellt man eine
    Ebene auf die von einem Richtungsvektor und dem Vektor n erzeugt wird auf?
    Dann würde ich den Schnittpunkt D der anderen Gerade mit der Ebene berechnen durch einsetzen?
    Eine Lotgerade durch D zur anderen Gerade aufstellen.
    Den Schnittpunkt S der Lotgeraden und g berechnen und
    schließlich den Abstand zwischen S und D?


    Geht das? Gehts auch einfacher? *g*


    d) Enthält ein gemeinsames Lot der beiden Tangenten einen Durchmesser der Kugeloberfläche?
    - keine Ahnung -


    f) Bestimme die Schnittgerade und die gegenseitige Neigung dieser Tangentialebenen.
    - ebenfalls keine Ahnung -


    Ich weiß die Aufgabe ist ziemlich umfangreich, aber es ist wirklich sehr sehr wichtig, möglicherweise muss ich sie vor der Klasse präsentieren...
    Wäre schön, wenn ihr sie mir möglichst kleinschrittig erklären
    könntet...


    Liebe Grüße

    puh da bin ich garnicht mehr so firm. Müsst notfalls nachschlagen oder wir hoffen auf Interstar



    K: x * x = 15


    ich find x als Symbol für den Radiusvektor eher schlecht gewählt. Aber nagut.


    OK Kugel Mittelpunkt ist der Koordinatenursprung. Das macht alles etwas einfacher.


    a) puh das müsste ähnlich ablaufen wie mit der Ebene.


    Im Prinzip musst du ja nur die Schnittpunkte einer Geraden mit der Kugel bestimmen. Also gleichsetzen. und dann alles so abstimmen dass nur ein (doppelter) Schnittpunkt exitiert.



    b) ist soweit schonmal richtig. Aber für die "Identitätsprüfung" reicht es den Stützvektor der einen Gerade mit der anderen Gerdaen gleichzusetzen.



    c) Für allgemeine Geraden kannst du den Abstand nur über den Weg der Lotgeraden aufstellen.


    Dafür gibts eine spezielle Gleichung.


    Wenn du davon ausgehst das die Geraden Parallel sind reicht es, wenn die vereinfachte Form nimmst


    Geraden
    r = r1 + t1·a1
    r = r2 + t2·a2


    Abstand
    d = |a1 * (r2-r1)| / |a1|


    d) Gute frage, ich denk mal damit ist gemeint ob sie sich genau an gegenüber stehenden seiten der Kugel befinden. Wenn das so ist müsste der Abstand der Durchmesser der Kugel sein (denk ich mal so)


    f) welche Ebene?


    P.S. bin auch froh wenn ich das 100% erklären könnte

    Mmhh wenn ich mir das richtig betrachte ist ist der Richtungsvektor der Geraden ohne bedeutung.


    es reicht also


    [1,1,p]*[1,1,p]=15 zuberechen.


    (Ganz sauber ist das aber nicht, auch wenns stimmt)

    hm, danke erstmal für deine Hilfe, so recht komme ich mit der aufgabe allerdings noch immer nicht klar...


    zu a)
    hm, gleichsetzten funktioniert nicht, man hat zu viele Variablen...
    Muss also irgendwie anders funktionieren? ?(


    zu c) hm, da wir die formel im unterricht nicht hatten, müsste ich das irgendwie anders lösen, was für möglichkeiten gibts
    da noch?


    zu f) hm, ja vielleicht die Tangentialebenen die Man mittels der Punkte die die Tangenten aus a) jeweils berühren? Aber so recht weiß ichs auch nich...

    Zuviele Variablen? was ist an p zuviel?


    zu c) du kannst die formel herleiten.
    Einen anderen weg als den über die Lotgerade kenn ich nicht.



    zu f) was wird denn in e gefragt? in a braucht man keine Ebene.

    hm, ich glaube dann hab ich das nicht recht verstanden...


    kannst du mir mal die rechnung für a) aufschreiben?


    Wenn ich die a) hab komm ich vll selbst auf den rest, zumindest könnte ichs dann versuchen....

    K: x · x = 15


    gp: x = (1; 1; p) + u (0; 1; 0)


    -->
    x = [1,1+u,p]


    -->
    K: [1,1+u,p]·[1,1+u,p]=15


    p² + u² + 2·u + 2 = 15


    Das jetzt nach p auflösen
    dann bekommt man natürlich eine Abhängigkeit von u.
    demnach gibt es sehr viele lösungen.


    So richtig ist mir das auch alles nicht klar. ich würd unter der Annahme u = 0 , lösen.


    [1,1,p]·[1,1,p]=15
    p² + 2 = 15


    von hier an gehts allein.



    mmhh da fällt mir etwas ein.


    der Ansatz
    K: x · x = 15


    gp: x = (1; 1; p) + u (0; 1; 0)



    x = [1,1+u,p]



    K: [1,1+u,p]·[1,1+u,p]=15


    p² + u² + 2·u + 2 = 15


    ist schon richtig.


    Aber eine nebenbedingung hatte ich nicht beachtet.
    Es sollen ja Tangenten sein die in [0,1,0] verlaufen.
    Demnach muss die y Koordinate des Tangentenpunktes gleich der des Mittelpunktes [0,0,0] sein.


    Beachte das ist ein Spezielfall weil der Richtungsvektor [0,1,0] entlang einer Achs verläuft. Und ob das so gelöst werden soll bezweifel ich irgendwie auch noch.


    daraus folgt aber nach meinen Betrachtungen dass u = -1 sein muss.


    Das ist aber alle ehr geraten als Mathematik

    OK vergiss die laienhafte Erklärung oben.


    Zu a)


    recht einfach wenn man es verstanden hat


    Du hast
    K: x · x = 15
    gp: x = (1; 1; p) + u (0; 1; 0)



    So nun zum Sachverhalt.


    g soll K im Punkt S tangieren


    D. h. g durchstößt die Ebene in der M (Mittelpunkt von K) und S liegen im Punkt S. Das ist √ (15) LE von M entfernt


    |MS| = √ (15) das ist aber nicht für meinen Rechenweg wichtig.



    So als erstes bilden wir die Ebenengleichung die durch S und M geht. Sie ist senkrecht zu dem Richtungsvektor von g. Deswegen bilden wir die normalenform der Ebene mit dem Richtungsvektor der Geraden als Normalenvektor. Als Stützvektor nehmen wir idealerweise M (0,0,0), das vereinfacht die rechnung, ist aber allgemein gültig.


    Also


    E: 0 = n·(r-r0)


    n .. Normalenvektor, hier n = [0,1,0]
    r .. allgemeiner Raumvektor für die Ebene
    r0 .. Stützvektor der Ebene, wir nehmen hier r0 = M = [0,0,0]


    --> E: 0 = [0,1,0]·r


    das soll für S = [1,1,p]+u[0,1,0]=[1,1+u,p] gelten.


    --> 0 = [0,1,0]·[1,1+u,p]


    --> u = -1



    So 1. Bedingung (Richtungsvektor senkrecht auf Ebene) erfüllt.


    Nun noch der Abstand zum mittelpunkt.


    Dazu brauchen wir die Kugelbeschreibung


    K: x·x=15


    x = [1,1+u,p] (Gerade)
    K: [1,1+u,p]·[1,1+u,p]=15
    p² + u² + 2·u + 2 = 15


    mit u = -1


    tata


    p1 = √ (14)
    p2 = - √ (14)


    Tangentenpunkte sind S1 = [1,0,√ (14)] und S2 = [1,0, - √ (14)]



    Ist ehrlich gesagt ein sch**** Aufgabe. Naja was solls

    das ist wirklich eine sch****Aufgabe...
    Ich versuch die ganze Zeit die zu verstehen, aber ohne Erfolg....


    gp: x = (1; 1; p) + u (0; 1; 0)



    x = [1,1+u,p]


    ich versteh schon nicht, wie du auf dieses u,p kommst?
    :(

    das ist einfach nur die Geraden gleichung in einem Vektor zusammengefasst. braucht man nicht machen


    x = [1, 1, p] + u [0, 1, 0 ] = [1,1+u,p]


    Um dann auf u und p zukommen brauchst du mindestens 2 unabhängige Ausagen (gleichungen). Leider klappt das hier nur mit 2 Vektorgleichungen


    K: x · x = 15


    und


    E: 0 = n·(r-r0)


    n .. Normalenvektor, hier n = [0,1,0]
    r .. allgemeiner Raumvektor für die Ebene
    r0 .. Stützvektor der Ebene, wir nehmen hier r0 = M = [0,0,0]



    Sag bitte genau was du nicht verstanden hast. Die aufgabe an sich steht ja schon weiter oben erklärt

    danke, die a hab ich jetzt verstanden... ist es möglich, dass du mir mal so eine Skizze wie Kugel und Tangenten verlaufen anfertigen könntest? Ihr habt ja meist so PC Programme...
    Wäre wirklich nett...

    hm, achso, naja trotzdem danke...
    Ich glaube mit Ausnahme von der d hab ich jetzt alles...


    Wie bestimme ich denn die Schnittgerade und die Neigung der Ebenen:


    15 = x1 + √ (14)x3
    15 = x1 - √ (14)x3