Beweise mit Hilfe v. Vektoren

    Hallo,


    ich hoffe,dass mir jemand bei dieser Aufgabe helfen kann:


    Aufgabe 4)
    Beweise:In einem Trapez ABCD ist die mittellinie parallel zu den beiden Grundseiten.
    Das in 3 Schritten:Voraussetzung,Behauptung,Beweis


    Hoffe das mir jemand helfen kann,denn ich weiß gar nicht was ich tun soll.


    Wäre lieb von euch!


    MfG

    Habe es jetzt so:


    Voraussetzungen:


    Gegeben ein Trapez, mit mindestens 2 Parallelen Seiten. Nehmen wir einfach die Strecken AB und CD. Die Richtungsvektoren sind also linear abhängig, weil parallel. Die Mittelline verbindet die jeweiligen Mittelpunkte von AB und CD miteinander. Nennen wir sie mal X und Y.


    Behauptung:
    YX || AB || CD (alles Strecken)


    z.z. also:


    r(YX) und r(AB) sind linear abhängig.


    ( r(YX) soll hier Richtungsvektor der Strecke AB heißen. Kann's hier leider nicht besser aufschreiben...)


    Die Vektoren YX und CD sind dann automatisch linear abhängig, weil AB und CD abhängig sind nach Vorauss.



    Beweis:


    Es ist r(AB) = (B-A) , r(CD)=(D-C).


    X ist dann: A + 0.5 r(AB)
    und Y=C+ 0.5 r(CD)


    Also ist r(YX) = C + 0.5 r(AB) - (A + 0.5 r(CD))


    = (C-A) + 0.5 r(AB) - r(CD) = (C-A) + 0.5 r(AB)- x * r(AB)


    | weil r(CD) ein Vielfaches von r(AB) ist.


    = (C-A) + (1-x) r(AB) |Setze (1-x)=:s, (C-A):=P


    und wir erhalten P + s * r(AB), eine Geradengleichung, mit Richtungsvektor r(AB), sie ist also Parallel zu AB (und CD).


    Stimmt das soo?

    Habe da dann nochmal ne Aufgabe:


    In einem Dreieck ABC sind M und N die Mittelpunkte der Seiten a und b.
    Beweise:Die Strecke MN ist parallel zur Dreiecksseite c und halb so lang wie diese.


    Kann mir da jemand die Lösung(Ansatz) sagen?


    Vielen Dank im Voraus.

    ok, zu 4)


    bei deinem Beweis hast du schon gleich am Anfang einen Fehler gemacht. Und zwar:

    Zitat

    Die Mittelline verbindet die jeweiligen Mittelpunkte von AB und CD miteinander. Nennen wir sie mal X und Y.


    Die Mittelline ist die Seite, die die beiden Punkte X und Y verbindet, wobei Y X der Mittelpunkt zw. A und D ist und Y zw. B und C.
    Es sei du hast dein Trapez total komisch gezeichnet.
    Aber im Normalfall ist die Grundlinie die Seite AB und die dazu parallele Linie die Seite CD.
    Und so hast du ja auch deine Behauptung aufgestellt.
    XY || AB || CD <-- das ist richtig.


    Der Beweis geht dann wie folgt:


    X = A + AD/2 = 0,5 (A + D)
    Y = B + BC/2 = 0,5 (B + C)


    Die Mittellinie ist dann der Vektor
    XY = Y - X = 0,5B + 0,5C - 0,5A - 0,5D anders ordnen -->
    = 0,5B - 0,5A - 0,5D + 0,5C
    =0,5(B - A) - 0,5(D - C)
    =0,5AB - 0,5CD = 0,5(AB - CD)


    Die Mittellinie XY ist also eine Linearkombination aus dem Vektor AB und dem Vektor CD. Da AB || CD sind auch ihre Linearkombinationen parallel zu AB und CD.

    Der Ansatz zum Dreieck ist genau der gleiche, wie beim Trapez.
    Du stellst die Punkte A,B,C als Vektoren da, genau so die Seiten a,b,c, also a = C - B, b = C- A und c = B - A.
    Die Punkte M,N kannst du auch durch diese Vektoren ausdrücken,
    also
    M = a/2 = 0,5*(C - B)
    N = b/2 = 0,5*(C - A)
    Dann den Vektor NM darstellen mit NM = M - N.
    M und N einsetzen und das ganze ausrechnen. Übrig bleibt eine Abhängigkeit von einem Vektor B - A = Seite c.

    Hi Intersatr,


    könntest du mir die Aufgabe mit dem Dreieck vielleicht nochmal ausführlicher erklären ??? Steige da nicht so durch.


    Wäre nett.


    MfG


    P.S. Was bedeutet es genau wenn du z.B.schreibst:M=0,5a . Sind das dann auch Vektoren oder nur Punkte?

    Na das sind auch Vektoren.


    Also: Du hast die Punkte A,B,C, welche durch Vektoren repräsentiert werden, d.h. Vektor A = Punkt A, Vektor B = Punkt B, Vektor C = Punkt C (genau so wie beim Trapez, nur halt ein Punkt weniger).
    Die Seite a (also zw. den Punkten B und C) ist doch der Vektor a = C - B, die Seite b (zw. den Punkten A und C) ist der Vektor b = C - A und die Seite c (zw. den Punkten A und B) ist der Vektor c = B - A.


    Beim nächsten Schritt habe ich wohl beim letzten Beitrag einen Gedankengang ausgelassen. Hier mal das ganze vollständig:


    Die Punkte M und N kannst du auch durch Vektoren darstellen.
    M ist der Mittelpunkt der Seite a, also setzt sich der Vektor M durch den Vektor für B und der Hälfte der Strecke a zusammen.
    -->
    M = B + 0,5a = B + 0,5(C - B) = 0,5(B + C)


    Für N gilt das selbe: N ist der Mittelpunkt der Seite b, der Vektor für N setzt sich also aus dem Vektor für A und der Hälfte der Seite b zusammen.
    N = A + 0,5b = A + 0,5(C - A) = 0,5(A + C)


    Die Seite, die die Punkte M und N miteinander verbindet, kannst du auch als Vektor darstellen, und zwar
    NM = M - N = 0,5(B + C) - 0,5(A + C) = 0,5B + 0,5C - 0,5A - 0,5C
    =0,5B - 0,5A = 0,5(B - A)


    (B - A) ist ja wieder die Seite c, also ist
    NM = 0,5c --> NM ist nur ein Vielfaches von c und damit zu c parallel.