Extrempunkte und Wendepunkte bei e^x-Funktion...

    kann mir da vielleicht jemand weiterhelfen?


    gegeben ist die Funktion:


    f t(x) = e^(t*x) * (1 - t*e^x)


    davon sollen wir jetzt Extrempunkte und Wendepunkte bestimmen.


    Ich hab jetzt die erste und zweite Ableitung gebildet, bin mir aber nicht sicher ob das so stimmt.


    f' t(x) = t*e^(t*x) * (1 - t*e^x) + e^(t*x) * (-t*e^x)


    und dann habe ich das zusammengefasst:


    t*e^(k*x) * (1- (t - 1) * e^x)) = 0


    dann habe ich für den Extrempunkt als Werte folgende raus:


    x: ln(1/(t - 1))


    y: -1/((t - 1)^(t + 1))


    und für den Wendepunkt, f'' = 0 setzen, habe ich dann das raus:


    x: ln(t/(t² + 2*t + 1))


    y: ((t/(t² + 2*t + 1))^t * (1 - (t²/(t² + 2*t + 1))))



    könnte das vielleicht nochmal jemand nachrechnen? Diese Werte kommen mir extrem komisch vor... Und es ist echt wichtig, dass ich das richtig habe Montag...

    Hi


    Also die ableitung ist erstmal richtig, allerdings hast du beim zusammenfassen einen Fehler gemacht


    t*e^(k*x) * (1- (t + 1) * e^x)) = 0
    Die 2. Ableitung hast du ja leider nicht aufgeschrieben d. h. kann ich die auch nicht vergleichen.


    Deswegen sind auch die Extrempunkte usw. falsch, der Vorzeichenfehler ist da auch überall mit drin) Außerdem fehlt eine triviale Extremwertstelle (wenn du das 100% korrekt machen willst, naja ist kein wirklicher Extremwert und wahrscheinlich auch in den Randbedingungen ausgeschlossen).


    Schau mal nach

    hmm - also abgesehen vom -, ist der Rest denn dann falsch?


    ich schreib's jetzt nochmal Schritt für Schritt auf:


    also erste Ableitung = 0


    -->


    t*e^(t*x) * (1 - t*e^x) + e^(t*x) * (-t*e^x) = 0


    t*e^(t*x) - t²*e^(t*x+x) - t*e^(t*x+x) = 0


    t*e^(t*x) - t²*e^(t*x) * e^x - t*e^(t*x) * e^x = 0


    t*e^(t*x) * (1 - t*e^x - e^x) = 0


    t*e^(t*x) * (1-(t*e^x + e^x)) = 0


    t*e^(t*x) * (1-((t+1)*e^x)) = 0


    und dann muss ja


    (1-((t+1)*e^x)) = 0


    also ((t+1)*e^x) = 1


    e^x = 1/(t+1)


    x = (ln(1/(t+1))) / (ln(e))


    x = ln(1/(t-1))


    was stimmt daran denn nicht?


    bei der zweiten Ableitung habe ich das raus - grässlich, das am PC zu tippen...


    f'' t(x) = t²*e^(t*x) * (1 - t*e^x) + t*e^(t*x) * (-t*e^x) + t*e^(t*x) * (-t*e^x) + e^(t*x) * (-t*e^x)


    und das letzte, was ich da dann raushabe:


    t²*e^(t*x) - ((t³ + 2*t² + t) * e^(t*x+x)) = 0

    Zitat


    x = (ln(1/(t+1))) / (ln(e))
    x = ln(1/(t-1))


    Was machst du denn da?


    x = (ln(1/(t+1))) / (ln(e))
    = ln(1/(t+1))
    = - ln (t+1)


    Aber das war nicht der Fehler von vorhin, da war der Vorzeichenfehler viel früher. Komischerweise ist der jetzt in der Rechnung nicht dabei. Nur am Ende hast du anscheinedn wieder die letzte Zeile kopiert.



    Bei der 2. Ableitung stimmt auch irgendwas nicht. Da hast du zwar richtig zusammengefass, aber die Ableitung an sich it schon nicht richtig. Das zeigt auch der t³ Term der kommt in der 2. Ableitung noch nicht vor.



    P.S. Die triviale Nullstelle der 1. Ableitung ist t=0, ich denk aber nciht das ihr darauf achten sollt

    Zitat

    Original von Cepheiden
    [QUOTE]
    Bei der 2. Ableitung stimmt auch irgendwas nicht. Da hast du zwar richtig zusammengefass, aber die Ableitung an sich it schon nicht richtig. Das zeigt auch der t³ Term der kommt in der 2. Ableitung noch nicht vor.


    also das mit x sehe ich ja ein, da habe ich den alten Fehler weitergemacht, aber wieso kann bei der 2. Ableitung nicht t³ stehen?


    das muss doch auch wieder nach der Produktregel gemacht werden und dann wäre ja schon der erste Teil des ersten Produkts, also u1'*v1 mit t³, wenn man die Klammer ausmultipliziert - nicht?


    also wenn der erste Teil eben:


    f't(x) = t*e^(t*x) * (1 - t*e^x)

    f''t(x) = t²*e^(t*x) * (1 - t*e^x) + .....


    da würde doch dann t³ rauskommen oder nicht? was stimmt denn daran nicht? wie müsste das richtig heißen?

    Entschuldige hab ein ^2 übersehen bei mir. Du hast recht.


    Aber du rechnest immer noch mit der flaschen 1. Ableitung



    f'(x,t)
    = e^(t·x)·(t^2 - t·e^x·(t + 1)^2)
    = t·e^(t·x)·(1 - (t + 1)·e^x)



    TIPP für die 2. Ableitung, ausmultiplizieren und Exponenten zusammenfassen. Dann ist die 2. Ableitung kinderleicht, Das geht übrigens bei der 1. Ableitung auch sehr schön

    Hochpunkt stimmt jetzt
    Y kann man aber noch vereinfachen auf y = (t + 1)^(-t - 1)



    f''(x) ist aber immer noch nicht richtig



    Leite doch einfach das ausmultiplizierte ab
    f'(x) = t·e^(t·x) - t·(t + 1)·e^(x·(t + 1))


    Da brauchst du dann auch keine Produktregel

    so - weil's so schön ist...


    jetzt habe ich das raus:


    f''t(x) = t²*e^(t*x) - t³ * e^(t*x+x) - t² * e^(t*x+x)


    --> t*e^(t*x) * (t - (t² + t) * e^x) = 0


    und dann habe ich:


    e^x = t/(t²+t)


    = 1/(t+1)


    raus, womit ja dann das gleich rauskommt wie bei f't(x) und der Hochpunkt dann auch der Wendepunkt wäre - stimmt das so jetzt endlich? danke übrigens für deine Hilfe und Geduld! ;)

    Also irgendwo hast du da immer einen fehler drin


    f'(x) = t·e^(t·x) - t·(t + 1)·e^(x·(t + 1))
    -->
    f''(x) = t^2·e^(t·x) - t·(t + 1)^2·e^(x·(t + 1))


    rechne das mal nach



    Zum Thema Hoch- und Wendepunkt, die fallen NIE zusammen. Sollten die 1. und 2. Ableitung in einem Punkt beide gleich null sein leigt ein sattelpunkt vor


    Ich geb dir mal den x wert für die Wendepunkte, evtl kommst du ja dann besser zurecht.


    xw = LN(t/(t + 1)^2) für t<>0

    Zitat

    Original von Cepheiden
    f'(x) = t·e^(t·x) - t·(t + 1)·e^(x·(t + 1))
    -->
    f''(x) = t^2·e^(t·x) - t·(t + 1)^2·e^(x·(t + 1))


    also jetzt versteh ich gar nichts mehr, ehrlich...


    wie kommst du denn auf die 2. Ableitung?


    wieso ist die Ableitung von (t²+t) * e^(t*x+x)


    plötzlich (t²+t)^2 * e^(t*x+x) ???


    und nicht: t*(t²+t) * e^(t*x+x) ???

    so, jetzt nochmal ganz langsam für blöde wie mich zum Mitdenken:


    f''t(x) = t² * e^(t*x) - t(t²+t) * e^(t*x+x)


    ja?


    aber dann wäre es doch so:


    t²*e^(t*x) = t*(t²+t) * e^(t*x+x)


    t = (t²+t) * e^x


    e^x = t/(t²+t)


    womit wir dabei wären, was ich vorhin raushatte ...


    irgendwie ist der zweite Teil bei dir anders aber ich versteh immer noch nicht wieso :(


    so, nach dem Minuszeichen:


    erste Ableitung:


    (t²+t) * e^(t*x+x)


    zweite Ableitung: (man zieht da doch wohl einfach nur das t nach vorne oder etwa nicht?!)


    t* (t²+t) * e^(t*x+x)

    der 2. Term in der 1. Ableitung ist
    - t·(t + 1)·e[UP](x·(t + 1)) [/UP]



    - t·(t + 1) ist nur ein konstanter Faktor wird also bei der Ableitung nur mitgeschliffen



    e[UP](x·(t + 1)) [/UP] --> Abgeleitet --> (t + 1) · e[UP](x·(t + 1))[/UP]


    Mit dem Vorfaktor


    - t·(t + 1)·(t + 1)·e[UP](x·(t + 1)) [/UP] = - t·(t + 1)[UP]2[/UP]·e[UP](x·(t + 1)) [/UP]