Hi,
vollständige Induktion ist ein Beweisverfahren. Dabei zeigt man
1.) das eine Aussage für einen bestimmten Wert gilt (meistens n=1 oder hier x=1). Dieser Schritt heißt Induktionsanfang
2.) Das diese Aussage auch für ein beliebiges n+1, also dem Nachfolger gilt. Das ist dann der Induktionsschritt.
Quasi läuft das Verfahren darauf hinaus, zu zeigen, dass etwas für irgendeine Zahl gilt und das es auch für den Nachfolger gilt.
Typisches Beispiel dafür ist der Beweis, dass die Summe aller natürlichen Zahlen, also 1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2 entspricht.
Zu deiner Aufgabe:
Was wird um eins erhöht?
y = x * e^x ist nur ein Term bzw. eine Gleichung! Was sollst du daran beweisen oder zeigen? Wäre schön wenn du die Aufgabe ein bischen genauer umschreiben könntest.
Hab noch mal zufällig einen Blick auf deine Themenüberschrift geworfen: Dann soll sich die Ableitung immer um eins (besser der Faktor vor dem e^x) erhöhen.
Hier mal dazu ein Lösungsansatz:
y(x) = x * e^x
y'(x) = x*e^x + e^x = (x+1)*e^x
y''(x) = (x*e^x+e^x)' = (x*e^x)'+(e^x)' = x*e^x+2*e^x = (x+2)*e^x
wie du siehst, kann man bei jeder Ableitung den Term so zerlegen, das du immer y(x) drin hast, also x*e^x plus einen Term n*e^x, wobei n die "Nr." der vorhergehenden Ableitung hat.
Jetzt zur vollständigen Induktion:
(n bezeichnet jetzt den Grad der Ableitung, also ','',''' usw.)
y(x)^n = (x+n)*e^x --> zeigen, dass es für die 1.Abl. (also n=1)gilt
y(x)^(n+1) = (x+n+1)*e^x = (x+n)*e^x + e^x = y(x)^n + e^x
Wir haben jetzt gezeigt, dass wenn es für die n. Abl. gilt, gilt es auch für den Nachfolger, also die n+1 Abl.
Wie man in der letzten Zeile sieht, wird jede Abl. gegenüber ihrer vorherigen um e^x erhöht.
Hoffe das war jetzt nicht ganz zu kompliziert. 
