Gerade, Punkt, orthogonale Schnittgerade...?

    Hallo, wir haben eine Hausaufgabe auf, an der ich schier verzweifel - und gleichzeitig das Gefühl habe, die Sache zu kompliziert zu sehen und die einfachste Lösung nicht zu sehen.
    Nachdem ich bei endlos hohen Zahlen war und das nie hinkam, dachte ich, frage ich doch mal eben nach:


    gegeben ist eine Gerade f:x-> = (2/3/1) + t(5/2/0)
    und Punkt A(3/7/2)


    gesucht: eine Gerade, die durch den Punkt A läuft, die gerade f schneidet und zu ihr orthogonal verläuft


    ich habe es versucht mit 3 Gleichungen durch Richtungsverktoren = 0 (Skalar), Koodinatengleichung und einsetzen des Schnittpunktes sowie eine 3. Gleichung aus den beiden Abständen mit Hessescher Normalenform und einsetzen eines beliebigen Punktes auf f mit Hilfe von Phythagoras - nicht Ziel führend.


    Hat jemand eine einfach Idee, wie man diese Aufgabe lösen kann? Wäre super! :)

    Ja es gibt viele Möglichkeiten sowas zu rechnen.
    Hier mal eine (die immer zum Ziel führt):


    Man stellt eine Hilfsebene auf, die den Richtungsvektor von f, also (5/2/0), als Normalenvektor hat, und durch den Punkt A geht.


    Danach bestimmt man den Schnittpunkt P der Ebene mit der Gerade f. Dieser Punkt ist gleichzeitig der Schnittpunkt deiner gesuchten Gerade mit f.


    Mit den beiden Punkten A und P kannst du mit der 2-Punkte-Gleichung deine gesuchte Gerade aufstellen.


    Hilfsebene:
    allg. Formel: n(x - x0)=0


    n ist ja (5/2/0), x0=A=(3/7/2)


    --> Ebene: 5x + 2y +0z = 29


    Schnittpunkt bestimmen:
    -->dazu f umstellen in Koordinatenform, also
    x = 2 + 5t, y = 3 + 2t, z = 1


    --> in Ebene einsetzen:
    5(2+5t)+2(3+2t) = 29 --> t =13/29


    --> Punkt berechnen, dazu t in f einsetzen
    P = (2/3/1) + 13/29*(5/2/0) = 1/29 * (123/113/29)


    (Hinweis: Ich hab 1/29 ausgeklammer, so dass im Vektor nur ganze Zahlen stehen. Man kann auch schreiben ( 123/29 , 113/29 , 29/29 ) ).


    Dein Schnittpunkt P ist also 1/29 * (123/113/29)


    Gesuchte Gerade aufstellen:
    Du hast jetzt 2 Punkt, nämlich P und dein A und kannst jetzt deine gesuchte Gerade mit der 2-Punkt-Form aufstellen.


    g = (3/7/2) + s[ 1/29*(123/113/29) - (7/2/3) ]


    g = (3/7/2) + s 1/29*(36/-90/-29)


    Das ist deine Gerade.


    Durch A geht sie auf jeden Fall (s=0). Um zu kontrollieren, ob sie auch senkrecht zu f ist, kannst du das Skalarprodukt aus den beiden Richtungsvektoren von f und g bilden.


    Also (5/2/0)*1/29*(36/-90/-29) = 0.
    Sie sind beide orthogonal zu einander.


    Das war jetzt ein Möglichkeit und sicher auch vom Schreiben her die aufwendigste, aber man kann da eigentlich nix falsch machen mit.


    Ein zweite schnellere kann ich ja auch noch mal beschreiben.

    Eine Methode wo man weniger schreiben muss ist folgende:


    Du bildest vom Richtungsvektor von f den Einheitsrichtungsvektor (also der Vektor mit der Länge 1).
    Dann bildest du das Skalarprodukt von dem Einheitsrichtungsvektor mit dem Differenzvektor AS, wobei S dein Stützpunkt von f ist. Die Zahl, welche man da erhält, ist der Faktor um den man den Einheitsrichtungsvektor verlängern muss, um vom Punkt S auf den Schnittpunkt zu kommen.
    Jetzt hat man wieder 2 Punkt und kann die Gerade aufstellen.


    Mal kurz die Rechnung:


    f = (2/3/1) + t(5/2/0) --> S=(2/3/1) , R=(5/2/0)


    Einheitsrichtungsvektor eR = R/|R|
    eR = (5/2/0) / √ (29) = 1/√ (29) * (5/2/0)


    Differenzvektor:
    AS = A-S = (3/7/2) - (2/3/1) = (1/4/1)


    Skalarprodukt l = AS*eR = 13/√ (29)


    eR verlängern um Faktor l:
    eR*l = 13/29*(5/2/0)


    Jetzt Schnittpunkt P bestimmen, indem von S ausgehend eR*l addiert wird:


    (2/3/1) + 13/29*(5/2/0) = 1/29 * (123/113/29)


    Das ist der gleiche Schnittpunkt wie oben. Jetzt muss man nur noch, wie oben beschrieben, mit der 2-Punkte-Gleichung die Gerade aufstellen.


    Das Beste bei sowas ist immer eine gute Skizze zu haben.

    vielen Dank für deine Antworten! :) Ich habe es ja echt geahnt, dass es da eine ganz einfache Lösung gibt *g*
    Das mit der Hilfsebene hatte ich zwischendurch irgendwann auch mal versucht, war da aber wieder von abgekommen - keine Ahnung wieso.
    Naja, du hast mir jedenfalls sehr geholfen, danke! :))