1)
die Lösung ist A=
-3,0
1,1
t = (0,0) wie ja schon bekannt war
Erklärung ist etwas länger kommt aber auch gleich
Das t der Nullvektor ist, habt ihr ja schon diskutiert.
Bleibt also nur noch in der Gleichung x' = Ax die Matrix A übrig, und da fängt man mit der leichtesten Bedingung an:
P(1,1) --> P'(-3,2)
das bedeutet ja (3,2) = A*(1,1) und mit A =[a,b;c,d]
-3 = a+b
2 = c+d
Jetzt zur Fixgerade.
Die x2-Achse ist ja x2=k*(0,1)+(0,0)
(Als Stützvektor kann ich ja jeden beliebigen Punkt der Gerade nehmen und hier bietet sich (0,0) an, weil es dadruch sehr einfach wird.)
Fixgerade bedeutet ja, dass die Gerade unter der Abbildung identisch ist mit ihrer Bildgerade. Also x2' = x2 (also die Richtungsvektoren parallel zueinander und der Stützpunkt der Bildgeraden liegt auf der Ursprungsgeraden)
sei x2 = k*u + a = k*(0,1) + (0,0)
und x2' = k*u' + a'
wobei u' = Au und a'=Aa + t ist.
Da a=(0,0) und t=(0,0) ist auch a' = (0,0), bleibt also nur
x2' = k*u' übrig.
Da u' parallel zu u sein muss und u' = Au gilt, ist u ein Eigenvektor von A und damit kann man die Eigenwertgleichung
(A - E)*u = 0 aufstellen, mit E als Einheitsmatrix.
Also
[a-1, b; c, d-1]*(0,1) = 0
Das ergibt b = 0 und d-1 = 0 --> d=1
Mit den Gleichungen oben aus dem Punkt P, erhält man dann das Ergebnis a=-3, b=0, c=1, d=1.
Der Knackpunkt war hier, der Erkennen des Vektors u=(0,1) der Fixgerade als Eigenvektor der Matrix A.
Edit:
Ich habe oben den EW stillschweigend auf 1 gesetzt, es sind aber beliebige möglich, da ja u' parallel zur u ist.
Hier mal das entscheidene noch mit rot verbessert:
Da u' parallel zu u sein muss und u' = Au gilt, ist u ein Eigenvektor von A und damit kann man die Eigenwertgleichung
(A - λ E)*u = 0 aufstellen, mit E als Einheitsmatrix und λ als Eigenwert
Also
[a-λ ;, b; c, d-λ ]*(0,1) = 0
Das ergibt b = 0 und d-λ = 0 --> d=λ
Mit den Gleichungen oben aus dem Punkt P, erhält man dann das Ergebnis a=-3, b=0, d=λ, c= 2-d = 2 - λ
Da aber λ beliebig sein kann (u und u' sind parallel), gibt es unendlich viele Matrizen.