Differentialrechnung

    Hallo, ich habe folgende Aufgabe gerechnet ( zur Übung ) weiss aber bei einigen Stellen nicht weiter, dh helft mir doch einfach mal


    f(x)=(x-2)e^x


    a) Untersuchen Sie die Funktion f auf nullstellen, Extrema und Wendepunkte.
    c) Wo schneidet die Wendenormale die x-Achse? ( Wendenormale???)
    d) Bestimmen Sie die Stammfunktion F von f.
    e) BEstimmen Sie den Inhalt der Fläche A, die vom graphen von f und den Koordinatenachsen im 4.Quadranten umschlossen wird.



    Lösungen:
    a) Ableitungen alle nach Produktregel
    f'(x)=(x-1)e^x ; f''(x)=xe^x ; f'''(x)=(x+1)e^x


    Nullst. x=1; Extrema x=1 f''(1)=2,72 --> lokales Minimum ; Wendepunkt x=-1


    d) Produktintegration
    1.Möglichkeit F= e^x(x-2)-e^x
    2.Möglichkeit F= e^x(x-2)


    Welche ist richtig?( Oder sind beide falsch)


    und bei dem rest kann ich nix machen, ka wie ich da anfangen soll?!

    Hi,


    a)
    für die NST musst du f(x) = 0 setzen. --> NST: x= 2


    um den Wendepunkt zu errechnen musst du die 2. Abl. = 0 setzen --> f''(x) = 0 --> xe^x = 0 --> x=0 , d.h. der Wendepunkt liegt bei x=0.


    das Extremum ist richtig


    c) Wendenormale könnte die Gerade sein, welche rechtwinklig auf der Wendetangente steht. Die Wendetangente ist die Tangente im Wendepunkt.


    Möglicher Lösungsweg:
    Wendepunkt war x=0 --> Anstieg im Punkt ist f'(0) = -1
    mit der Orthogonalitätsbedingung m_1 * m_2 = -1 bekommst du den Anstieg der Normale raus --> m_2 = 1


    Mit dem Wendepunkt und dem Anstieg m=1 der Normale kannst du die Gerade aufstellen und den Schnittpunt mit der x-Achse bestimmen


    d)
    1. ist richtig. Anders geschrieben lautet sie F(x) = (x - 3)e^x


    kann man auch ganz leicht sehen, wenn man sich die Reihenfolge der Ableitungen von f(x) anschaut


    f(x) = (x - 2^) e^x
    f'(x) = (x - 1) e^x
    f''(x) = x e^x
    f'''(x) = (x + 1) e^x


    der mathematische Weg ist natürlich trotzdem besser ;)


    e) kommt noch

    e)


    die Funktion f(x) befindet sich im 4. Quadranten im Bereich von 0<= x <= 2 . (x=2 war ja die NST)


    d.h. du musst f(x) im Bereich von x=0 bis x=2 integrieren.


    das Ergbnis lautet dann A= 3 - e^2 = -4,39, A = 4,39, da ne Fläche ja keinen negativen Wert haben kann


    Noch ein Wort zur Integration: Das bestimmt Integral einer Funktion gibt immer den Flächeninhalt derjenigen Fläche an, die zw. Funktion und Achsen liegt. Bedingung ist, dass da zw. keine NST liegen. Falls doch, integriert man bis zur NST und dann weiter bis zur nächsten und dann weiter bis zum gewünschten Punkt.


    (War jetzt mal in Kurzform, falls du das ausfürlicher haben möchtest, melde dich einfach noch mal)

    hallo und vielen danke schonmal, ich habe meiin fehler gefunden bei der NST- Berechnung und da ist mir das auch klargeworden ( ka wieso ich da eine andere funktion zu stehn hatt ;) ) aber nichts desto trotz danke nochmal und das hat mir geholfen, cu