Extremstellen, Bedigungen

  • So, ich habe die Aufgabe gehabt die Extremstellen herauszufinden und für die hinreichende Berdingung für die 2. Ableitung zu verwenden:


    Aufgabe:


    f(x) = x^4 - 4x^3 + 3


    Davon die 2 Ableitungen bekomm ich hin, also


    f'(x) = 4x^3 - 12x^2
    f''(x) = 12x^2 - 24x


    Das weiß ich auch noch:


    f'(x) = 0
    0 = 4x^3 - 12x^2


    und dann ausklammern:


    4x^2 (x-3)


    -> 4x^2 = 0 und x-3 = 0


    danach weiß ich nicht mehr, was ich machen soll und wofür ich x ausgerechnet hab.


    Und wie komm ich auf das Schaubild, ohne es in den Taschenrechner einzugeben?



    Wäre nett, wenn sich das jemand anschaut!


    Danke

  • Deine Vorgehensweise ist schon fast richtig.


    Bis hier hin ist alles ok.


    Dann darfst du aber nur 4x ausklammern, also muss es heißen
    0 = 4x (x - 3)


    Damit das 0 wird, muss entweder der erste Term (4x) oder der zweite Term (x-3) Null werden. 4x wird nur Null wenn x=0. Das ist dann deine erste Nullstellen. (x-3) wird Null wenn x = 3.


    Du hast also 2 Extrema: x0 = 0, x1=3


    Jetzt muss du beide Werte in die 2.Ableitung einsetzzen und schauen was rauskommt, um zu entscheiden ob es ein Maximum oder Minimum ist. Oder aber was anderes.
    Du wirst folgendes merken: Setzt du x0 = 0 in die 2.Ableitung ein erhälst du 0. Also ist das kein Extrema.
    Setzt du x0 = 0 in die 3. Ableitung ein, ist diese ungleich 0. Damit ist x0 = 0 ein Sattelpunkt. ;)


    Auf das Schaubild kommst du, in dem die die Extremstellen (inkl. Sattelpunkt) berechnest, außerdem die Nullstellen und dir anschaust, wohin der Graph für x-->- ∞ und x--> ∞ geht.


    Dann hast du alle Informationen um den Graphen zu zeichnen.

  • Danke erstmal!


    Die Extrema muss ich dann auf der x-Achse eintragen, oder?


    Und ist ungleich 0 immer ein Sattelpunkt?


    Und wie komm ich darauf wohin der Graph für x- ∞ und x ∞ geht? Eine unendliche große Zahl und kleine Zahl einsetzen oder? Und in welche Gleichung und woher weiß ich ob von unten oder von oben und ob eine Prarabel, Gerade oder Hyperbel entsteht?

  • Bitte :D

    Zitat

    Die Extrema muss ich dann auf der x-Achse eintragen, oder?

    Was? Nee, du bekommst doch einen x-Wert raus, dazu kannst du dann deinen y-Wert ausrechnen und damit hast du einen Punkt. Das ist dann dein Extrempunkt und den kannst du dann in deinen Graph einzeichnen.


    Zitat

    Und ist ungleich 0 immer ein Sattelpunkt?

    Keine Ahnung was du meinst. Ein Sattelpunkt an der Stelle x0 ist es dann, wenn
    f'(x0) = 0 und f''(x0)= 0 und f'''(x0) ≠ 0


    Dann ist es immer ein Sattelpunkt.
    Andersherum gibt es allerdings auch Sattelpunkte, die das nicht erfüllen.


    Zitat

    Und wie komm ich darauf wohin der Graph für x- ∞ und x ∞ geht? Eine unendliche große Zahl und kleine Zahl einsetzen oder?

    genau. Oder aber, den Limes mittels einer Grenzwertrechnung ausrechnen. In den meisten Fällen reicht es aber aus, einige Beispiel-Werte einzusetzen. Also ein paar größere positive und negative Zahlen.


    Zitat

    Und in welche Gleichung und woher weiß ich ob von unten oder von oben und ob eine Prarabel, Gerade oder Hyperbel entsteht?

    Entweder man sieht es an der Gleichung oder nicht. Oft ist es nicht so einfach möglich von der Gleichung auf die Form zu schließen. Deswegen macht man ja eine Kurvendiskussion. ;)