Merkwürdige Aufgabe

    Guten Morgen,
    habe hier eine Funktion gegeben
    f(x)=1-2/x-3/x^2
    gezeichnet sieht der Graph so aus:


    http://render2.snapfish.com/re…CRup6JoQ%7C/of=50,480,252



    Zu betrachten ist der Bereich - ∞ <y<=1
    --> also der Bereich bis zur Asymptote. Ich soll die Menge der Mittelpunkte der zu der x-Achse parallelen Strecken zwischen den beiden Hyperbelästen beschreiben.
    Das heißt doch eine Funktion finden, deren x-Werte jene Mittelpunkte sind.
    mir fehlt der Ansatz... Wär nett, wenn ihr mir helfen könntet, brauch auch wirklich nur nen Ansatz.


    Grüße


    Sorry, weiß nich, wie das mit ddem Bild funktioniert, wenn man den Link kopiert gehts...

    Ok, mal folgende Überlegung:
    Der einfachste Mittelpunkt ist ja der zwischen den beiden Nullstellen. Die Strecke zwischen den beiden NST erfüllt ja alle Bedingungen. Um diesen Mittelpunkt auszurechnen, musst du also zuerst die NST x1 und x2 berechnen und dann mittels xM = x1 + (x2 - x1)/2 den Mittelpunkt (xM, 0) berechnen.
    (Die Klammer ist schon so gewählt, dass x2 immer größer als x1 ist. Ansonsten müsste dort der absolute Betrag stehen.)


    Jetzt erweitern wir diese Betrachtung:
    Alle zu dieser x-Achse parallelen Strecken könnten ja wieder eine x-Achse sein. Wir müssten also jede Strecke so behandeln, als wäre sie die x-Achse und dann einfach die dazugehörenden Nullstellen berechnen.
    Das kann man so realisieren, dass wir einfach die Funktion um einen Wert k entlang der y-Achse verschieben.
    Somit läge dann auf unserer x-Achse immer genau die Strecke und die Nullstellen und der Mittelpunkt die zu der Strecke y=0+k gehören.


    Bsp:
    Möchtest du den Mittelpunkt für die Strecke y=-1 zwischen den Hyberbelästen berechnen, verschiebst du die Funktion f(x) um 1 nach oben (also f1(x)=f(x)+1). Dann sind die Nullstellen auf der x-Achse genau die x-Werte, bei der deine Strecke y=-1 deine ursprüngliche Funktion f(x) schneiden würde.


    Wie kann man das brechnen?
    Der Ansatz geht so:
    Du erweiterst deine Funktion um die Verschiebung k, also
    f(x) = 1 - 2/x - 3/x[UP]2[/UP] + k
    Das k ist deine Strecke y=k, also k=y=1, y=-0.5, y=-1,.., y=- ∞ )


    Für den Mittelpunkt (xM,k) brauchen wir die Nullstellen x1 und x2. Also


    f(x) = 1 - 2/x - 3/x[UP]2[/UP] + k = 0
    --> x[UP]2[/UP] - 2/(1+k)[UP]2[/UP] - 3/(1+k) = 0


    quadratische Lösungsformel (p-q-Formel) anwenden und du bekommst die Lösung für x1 und x2.


    Jetzt xM mit xM = x1 + (x2 - x1)/2 ausrechnen.


    Dein Mittelpunkt ist damit (xM, k).


    Hinweis: Wegen der Wurzel in der quadratischen Lösungsformel beim Umformen aufpassen!


    Wenn du Hilfe beim Umformen und ausrechnen brauchst, sage einfach Bescheid. Natürlich auch falls der Weg noch nicht klar ist. ;)

    Erst einmal Dankeschön
    ist mir eigentlich alles total klar, logisch und nachvollziehbar versteh nur einen Umformungsschritt nicht:


    Zitat

    f(x) = 1 - 2/x - 3/x2 + k = 0
    --> x2 - 2/(1+k)2 - 3/(1+k) = 0


    Bist du dir da sicher? Ich weiß glaube einfach nicht, was du da im einzelnen gemacht hast...


    Bedank mich und wünsch nochn schönen Abend

    ah Entschuldigung, habe mich da verschrieben:
    richtig ist x² - 2x/(1+k) - 3/(1+k) = 0


    Rechenweg:


    f(x)= 1 - 2/x - 3/x² + k = 0 , jetzt alles *x² -->


    x² - 2x - 3 + k*x² = 0 , umsortieren -->


    x² + k*x² - 2x - 3 = 0 , x² ausklammern -->


    (1+k)*x² - 2x - 3 = 0 , jetzt durch (1+k) dividieren -->


    x² - 2x/(1+k) - 3/(1+k) = 0


    Somit ist in der quadratischen Lösungformel p=-2/(1+k) und q=-3/(1+k)