Schaubild zeichnen!!!!

Hallo,
werde ich mir mal am Sonntag Vormittag anschauen.
Also bitte noch etwas Geduld.

Zitat

"K ist das Schaubild der Funktion f mit f(x) = x hoch 3
a) Bestimmen Sie die Tangente t an K in B (1/1); zeichnen Sie K und t."
-> wie wird das gezeichnet??

Also allgemein gilt, wenn du nicht weißt wie eine Funktion aussieht, dann musst du entweder eine Kurvendiskussion durchführen oder eine Wertetabelle aufstellen und somit die Funktion skizzieren.

f(x)=x^3 sollte eigentlich bekannt sein. Wenn nicht Kurvendiskussion, also mindestens Nullstellen ausrechnen, Verlauf der Funktion links und rechts von der NST und Extremwerte (1.Abl und 2.Abl., evtl. 3. Abl.)
Beispiel:
NST von x^3 ist nur x=0
für x<0 gilt x^3 ist negativ, für x>0 gilt x^3 ist positiv
1.Abl von x^3 ist 3x^2 --> Extremum bei x=0
2.Abl von x^3 ist 6x --> kein Extremum sondern Sattelpunkt
Zusammengefasst: x^3 kommt für x<0 aus dem Negativen, hat bei x=0 eine NST und einen Sattelpunkt und verläuft dann im Positiven.
Mit diesen Informationen kannst du jetzt x^3 zeichnen.

Bei Tangente ist es einfacher. Zuerst musst du diese berechnen.
Sie haben ja immer die Form t(x) = mx + n
Zum Zeichnen von Tangenten (sind ja nix weiter als Geraden) brauchst du nur 2 Punkte. Dafür gibt es viele Möglichkeiten:
1 Punkt ist schon vorgegeben, nämlich B(1/1). Den 2. Punkt kannst du aus der Tangentengleichung errechnen, also zB. x=0 setzen, dann ist t(0) = n, also lautet der 2. Punkt C(0/n).
Oder du kannst auch t(x)=0 setzen, also 0=mx+n und dann nach x auflösen, dann ist der 2. Punkt C(x/0).
Auf diese Weise hättest du auch 2 Punkt, wenn mal einer nicht vorgeben ist.
Zusammengefasst: Wenn du eine Tangentengleichung hast, dann berechne einfach 2 Punkt damit und schon kannst du deine Gerade zeichnen.

Zitat

Erstellen Sie eine Gebietseinteilung und skizzieren Sie das Schaubild.
z.B. a) f(x) = x(x-3)"

Hier solltest du erstmal die Klammer auflösen und die Funktion ausrechnen. Das ergibt f(x)= x^2 - 3x und man sieht, dass die Funktion einen quadratischen Teil hat.
Die Form f(x) = x(x-3 ) ist die Linearfaktorenzerlegung, also man kann die Nullstellen sehr gut ablesen. Diese sind x=0 und x=3. Damit kannst du eine Gebietseinteilung x<0, 0<x<3 und x>3 machen und sagen, wie sich die Funktion dort verhält (einfach zB. schnell für x ein paar Werte einsetzen und f(x) ausrechnen, dann siehst du das für x<0 f(x)>0 ist, 0<x<3 f(x) negativ und x>3 f(x) wieder positiv.
Daher muss dazwischen auch irgendwo ein Minimum sein, dass du mittels der 1.Abl ausrechnen kannst.
Damit hast du wieder alle Infos die du zum Zeichnen brauchst.

Zitat

Untersuchen Sie das Verhalten von f bei Annäherung an die Definitionslücke. Geben sie die Gleichung der senkrechten Asymptote an.
a) f(x) = 2:x
b) f(x) = -1/x hoch 2"

Hier musst du eine Grenzwertbetrachtung durchführen, also für a)
lim_x->0 2/x ausrechnen, und zwar einmal von links (also der negativen Seite) und einmal von rechts (positiv) angenährt. lim_x->0 2/x verhält sich so wie lim_x->0 1/x = ∞.
Von links ist es dann -∞ und von rechts dann +∞.

(mathematisch:
lim_x->±0 2/x = 2*lim_x->±0 1/x = 2*lim_x->0 1/±x = ±∞ )

Die Definitionslücke ist x=0. (das sieht man, da die Division durch 0 nicht definiert ist). Damit lautet die senkrechte Asymptote y=0, also die y-Achse.

b) Auch hier ist die Definitionslücke x=0. Gleiche Begründung wie bei a)
Damit lautet die senkrechte Asymptote y=0, also die y-Achse.

Das Grenzverhalten ist dann:
lim_x->±0 -1/x[UP]2[/UP]= -1*lim_x->±0 1/x[UP]2[/UP] = -1*lim_x->0 1/(±x)[UP]2[/UP] = -1*lim_x->0 1/x[UP]2[/UP] = -1*∞ = -∞

(Erklärung: Das Minus-Zeichen wird "ausgeklammert", also vor der Grenzwertrechnung gezogen (die -1), dann kommt das ± wieder zum x und verschwindet durch das hoch 2 (x^2 ist ja immer positiv). Es bleibt also nur noch eine Grenzwertbetrachtung im_x->0 1/x[UP]2[/UP] übrig und diese ist ∞. Jetzt kommt nur noch die -1 wieder hinzu)

Zitat

Und woher weiß ich wie das Schaubild z.B. der Funktion f(x) = 1/ (2-x) ??

Bei gebrochenrationalen Funktionen solltest du immer schauen, ob es eine Definitionslücke gibt. Hier ist das einfach. Es gilt ja, dass man durch 0 nicht dividieren darf, also darf (2-x) nicht 0 werden --> x=2 ist die Definitionslücke

Das Grenzverhalten kann man schnell wie folgt herleiten:
Für x<2 gilt, dass f(x) positiv ist, also lim_x->2 1/(2-x) = ∞ ist.
Für x>2 gilt, dass f(x) negativ ist, also lim_x->2 1/(2-x) = -∞ ist.

Ein Nullstelle hat die Funktion nicht.

Damit weißt du, dass die Funktion für x<2 positiv ist, asymptotisch an der x-Achse entlang läuft, zu x=2 stark bis ∞ ansteigt, an der Stelle x=2 eine Definitionslücke hat, auf der "anderen Seite" der Definitionslücke aus dem negativen Unendlichen wieder "hervorkommt", für x>2 auch immer negativ bleibt und asymptotisch entlang der x-Achse weiterverläuft.

Ganz im Allgemeinen gilt vor dem Zeichnen von Schaubildern, dass du die Funktionen am besten analysierst, also meistens eine Kurvendiskussion durchführst. Die Diskussion muss ja nicht komplett sein oder exat, sondern kann ja auch auf einem Schmierzettel erfolgen. Du musst halt nur die wichtigen Dinge wie Nullstellen, Extremstellen (Minimum, Maximum) und auch den Verlauf wissen, also ob die Funktion links und rechts von Nullstellen halt positiv ist oder negativ (am besten einfach durch ein Wertepaar feststellen).
Bei gebrochenrationalen Funktionen, also Funktionen wo Divisonen auftauchen musst du noch prüfen, ob es Definitionslücken gibt.

Bei Geraden, also Tangenten oder Normalen, etc. solltest du zuerst die Geradengleichung y=mx+n berchnen. Damit kannst du dann 2 Punkte bestimmen und die Gerade einfach zeichnen.

Wenn du noch Fragen hast, ich bin den ganzen Tag online und schaue öfters mal rein. Am Montag ebenso.

Oh, na vielleicht hattet ihr andere Begriffe im Unterricht:

Kurvendiskussion nennt man die Analyse einer Funktion, also Nullstellen berechnen, 1. Ableitung, 2. Ableitung, Maximum/Minimum/Wendepunkte bestimmen, usw.
Infos zur Kurvendiskussion: http://de.wikipedia.org/wiki/Kurvendiskussion

Extremum ist vereinfacht gesagt der Sammelbegriff für Maximum (Hochpunkt) / Minimum (Tiefpunkt).
Wenn du Maximum und Minimum nicht kennst, dann kommt das sicher noch im Unterricht.
(so hat x^2 bei x=0 ein Minimum (Tiefpunkt), weil es der "tiefste" Punkt ist und -x^2 bei x=0 ein Maximum (Hochpunkt), weil es der "höchste" Punkt ist)
Maximum und Minimum sind als "extreme" Punkte, daher Extremum.

Ein Sattelpunkt ist sowas: Bild
Bei der Funktion x^3 an der Stelle x=0 gibt es einen Sattelpunkt.
Wenn bei einer Funktion an der Stelle x die 1.Ableitung und die 2.Ableitung gleich 0 ist und die 3.Ableitung ungleich 0vist, dann hast du einen Sattelpunkt vorliegen.

Zitat

achso und noch was: haben nur eine Ableitung

Und was möchtest du damit machen? Schaubild der Funktion zeichnen? Also du hast f'(x) und sollst f(x) zeichnen?

Zitat

und dann gibt es doch noch irgendwie Funktionen 1., 2. oder 3. Grades

Ja, gibt es. Der Grad ist der höchste Exponent der Funktion. So ist die Funktion f(x) = 4x² + 3x + 8 oder auch die Funktion f(x) = x² eine Funktion 2. Grades.
Eine Funktion 3. Grades wäre zB. f(x)=x³ + 5x.
Für den Grad ist immer nur der höchste Exponent entscheidend.

Zitat

Hab noch ne Frage und zwar wie rate ih die richtige Nullstelle, wenn diese nicht gegeben ist?

Also zum einen kann man die ja ausrechnen, mittels f(x)=0.
Raten kann man Nullstellen bei einigen Funktionen, wenn man etwas mathematische "Erfahrung" hat. Ansonsten gibt es mathematische Nährungsverfahren, für den Fall, falls man die Nullstellen nicht oder nur schwer berechnen kann.
Ist eine Funktion in der Linearfaktorenzerlegung angegeben, dann kann man die Nullstellen direkt ablesen.
Eine Linearfaktorenzerlgung ist zB. sowas: f(x)=x*(x-3)*(x+5)
Die Nullstellen wären hier x=0, x=3, x=-5