gleichung einer exponentialfunktion

    so, melde ich mich mal wieder zurück.


    im rahmen der abiturvorbereitungen haben mich ein paar freunde angehauen ihnen zu helfen. mach ich natürlich gerne - aber bei den 1000en aufgaben bin ich über eine gestolpert die mir auch ein wenig kopfzerbrechen bereitet:



    Lösen sie die Gleichung:


    e^(2x) + e^x - 2 = 0



    mir ist klar, dass x=0 rauskommen muss. denn dann würden die beiden exponenten 1 ergeben und 1+1-2=0 klingt ja sogar für meine sonderschüler beim zivildienst logisch.


    aber wie beweise ich das rechnerisch? Einfach von jedem Term den ln ziehen sodass



    2x + x =ln(2)


    rauskommen würde ist leider falsch.


    kann mir jemand sagen wie ich diese aufgabe sonst zu lösen habe?


    danke

    Also als reelle Lösung kommt nur 0 raus, klar.


    Algebraisch ist das meiner Meinung nach nicht zu Lösen, hier hilft nur probieren oder die Numerik mit Näherungsverfahren.



    Genau sagen kann ich dir das aber nicht und Interstar wird in nächster Zeit wohl auch nciht vorbeischauen :rolleyes:

    So bin wieder da. :)


    Falls das noch aktuell ist:
    Eine algebraische Lösung fällt mir da auf die Schnelle auch nicht ein, aber man kann das mit einer guten Kurvendiskussion begründen.


    1. Eine e^x-Funktion ist immer monoton steigend (auch e^2x, etc)


    2. e^x und e^2x haben keine Nullstellen, schneiden aber die y-Achse bei y=1


    3. e^x und e^2x sind über ihrem ganzen Definitionsbereich positiv, also f(x)>0


    --> die Funktion f(x) = e^2x + e^x ist auch immer positiv und schneidet die y-Achse bei y=2 (beide Funktionen werden einfach nur addiert)


    Subtrahiert man davon jetzt 2 (hat jetzt also die Funktion f(x) = e^2x + e^x - 2), ist das nur eine Verschiebung nach unten, der Verlauf der Funktion ändert sich nicht.
    Das bedeutet, dass es - wenn überhaupt - auch nur eine einzige Nullstelle geben kann (da nur monoton steigend) und diese Nullstelle jetzt genau bei x=0 (y=0) liegt, da die Verschiebung um -2 bewirkt, dass der Schnittpunkt der y-Achse (vorher bei y=2) jetzt im Ursprung liegt.



    Übrigens ist es bei solcher Aufgabe wichtig, nicht nur zu sagen, dass es eine NST bei x=0 gibt, sondern auch zu zeigen (zu begründen) das es die einizge ist. ;)


    Das ist mit meiner obigen getan.