Kurvenschar

  • Hi,


    habe folgende Aufgabe,wo ich probleme habe diese zu lösen und hoffe auf eure Hilfe:


    Berechnen Sie die Fläche,die von dem Graphen f(mit a=1),der negativen x-Achse,der positiven y-Achse und der Geraden x=-R(R>0) begernzt wird sowie deren Grenzwert für R gegen unendlich.


    f(x)=(10*a*e^x) / (a+e^x)


    für a=1 --> f(x)=(10*e^x) / (1+e^x)


    Erst einmal die Stammfunktion von f(x) bilden oder die Stammfunktion von F(x) mit a=1?


    f(x)=(10*a*e^x) / (a+e^x)


    Stammfunktion hier:


    F(x)=10 a * [((a*e^x)-(ax*e^x)) / (a+e^x)² ]


    Stammfunktion mit a=1 wäre:


    F(x)= ((10*e^2x)+(x*10*e^x)) / (1+e^x)²


    Stimmen die Stammfunktionen soweit?Was muss ich als nächstes machen?


    Vielen Dank im Voraus.

  • Also das Integral ist falsch.


    Ich bin mir auch nicht so sicher was du gemacht hast. irgendwie sieht das so aus als wenn du eine Ableitung per Quotientenregel machen wolltest. Allerdings aus du dabei ein paar sachen vergessen.


    Auf grund der e-Funktion in der Schar bietet sich die logarithmische Integration an

  • Hi,


    ja habe das mit der Quotientenregel gemacht.Bin aber der Meinung,dass ich das damit richtig gemacht habe.Dachte,dass ich das damit machen kann,eben nur in die andere Richtung :)


    Hatte sonst keine Idee wie ich sonst die Stammfunktion bilden sollte,da aus dem Kopf wird das ja nichts!


    Wie kann ich nun die Stammfunktion bilden?

  • 2 Dinge sind bei der Aufgabe wichtig:


    1) Die Stammfunktion von 1/x = LN(x) bzw. 1/(x+a) = LN(x+a) mit a... irgendeine Konstante


    2) du kennst die Substitutionsmethode


    oder


    3) du kennst die Integralregeln (dazu ganz zum Schluss was)


    Zur Aufgabe:
    also deine Funktion lautetet ja:


    f(x)=(10*e^x) / (1+e^x)
    das kann man schreiben:
    f(x) = 10 * e^x / (e^x + 1)


    Um davon jetzt die Stammfunktion zu bilden, musst du folgendes tun:


    F(x) = 10 ∫ e[UP]x[/UP]/(e[UP]x[/UP] + 1) dx


    e[UP]x[/UP] durch z substituieren und dabei das dx "umwandeln", da z eine Funktion von x ist , also z(x).
    Deswegen muss man dz/dx = e[UP]x[/UP] = z rechnen und nach dx umstellen --> dx = dz/z


    Damit folgt:
    F(z) = 10 ∫ z/(z+1)*dz/z = 10 ∫ 1/(z+1) dz


    mit 1) folgt dann: F(z) = 10*LN(z+1)
    jetzt wieder zurücksubstituieren also, das z wieder ersetzen -->
    F(z) = 10*LN(e[UP]x[/UP]+1)


    Das ist deine Stammfunktion.





    Jetzt mal einen einfacheren Weg, wenn man die Integral"regeln" kennt oder aber in Integrationstabellen nachschlagen kann.


    Es gilt nämlich: ∫ G'(x)/G(x) = LN(G(x))
    heißt: Das Integral des Quotienten aus Ableitung und Funktion ist der natürliche Logarithmus der Funktion.


    Auf deine Aufgabe angewandt:


    F(x) = 10 ∫ e[UP]x[/UP] /(e[UP]x[/UP] + 1 ) dx


    Das rote ist ja die Ableitung der blauen Funktion, also das G(x) wäre das e[UP]x[/UP] + 1 und das G'(x) das e[UP]x[/UP]
    Damit steht genau sowas, nämlich G'(x)/G(x) und das Ergebnis ist LN(G(x)) also LN(e[UP]x[/UP] + 1)
    (und den Faktor 10 nicht vergessen)