Funtionenscharen

  • Ka sei das Schaubild der Funktion fa mit fa(x)=



    ( 4a/x - a für x>0
    ( ; a ist element von allen +Reelen Zahlen
    (-4a/x+a für x<0

    a) Alle Kurven Ka haben einen Punkt T gemeinsam. Bestimme die Koordinaten von T und die Asymptoten der Kurve Ka.
    b) Die Tangente an die Kurve Ka im Punkt T schneidet Ka in einem Punkt N. Bei welchem Wert für a ist die Gerade (TN) Normale in N ? Welche Koordinaten hat N?
    c) Welche Beziehung muss zwischen den positiven Zahlen u und v bestehen, damit sich die Tangenten an K1 in den Punkten P(u/?) und Q(-v/?) auf der y-Achse schneiden ? Für welche Werte u gibt es solche Punkte ?


    hfftl könnt ihr mir mal wieder weiterhelfen ich versteh nix :D
    Vielen danK =)

  • Ich habe sehr wenig Zeit, da ich gerade umziehe und morgen früh raus muss.


    a)
    gemeinsamer Punkt --> Gleichsetzen, nämlich fa(x) = fa(x), wobei a verschieden sein kann (ALLE Funktion en der Schar haben einen gemeinsamen Punkt, daher kann a beliebig sein)


    also:


    4a1*1/x - a1 = 4a2*1/x - a2 --> nach x umstellen --> x ausrechnen --> in fa(x) einsetzen und y-Wert ausrechnen --> Punkt T


    Die Asymptote kannst du selber. Einfach mal den Graph zeichnen lassen (PC, Taschenrechner, selber auf einem Blatt Papier) und anschauen. Dann siehst du die Asymptote.
    Oder einfach mal in die Funktiongleichung anschauen. Daraus kann man auch die Asymptote ablesen.


    b)
    Tangente ist gesucht --> Tangentengleichung (Geradengleichung) y = mx + n


    durch T hast du ja schon ein Wertepaar für (x|y)


    m ist ja der Anstieg der Tangente und damit die 1. Ableitung der Funktion fa(x) an der Stelle T -->
    fa(x) ableiten --> x-Wert von T einsetzen --> Funktionswert der 1.Ableitung ist dein Anstieg


    Kurz: m = fa'(xT)


    Somit kannst du m, und T(x|y) in deine Tangentgleichung einsetzen und n berechnen. Damit hast du die Tangente.


    Jetzt schneidest du die Tangente mit fa(x), bedeutet also t(x) = fa(x) --> x allgemein ausrechnen --> xN


    Wir suchen aber nur den Punkt N, wo die Tangente eine Normale an Ka ist. Normale bedeutet, dass die Tangente einen Graphen von Ka senkrecht schneidet. Daraus folgt, dass in diesem Punkt für die Anstiege gilt: mf(x) * mt(x) = -1


    Den Anstieg der Tangente hast du ja, und zwar m.


    Für den Anstieg der Funktion fa(x) musst du diese wieder allgemein ableiten, dann für x den allgmeinen Wert für xN einsetzen und die Gleichung bilden:


    kurz: fa'(xN) * mt(x) = -1
    Wenn alles richtig sit, dürfte in der Gleichung nur noch die Variable a drin sein und die kannst du ausrechnen. Das ist dann dein Ka - Graph. Mit dem a kannst du dann auch xN ausrechnen und dann auch den y-Wert dazu. Somit hast du dann N.


    c) mache ich ein anderes mal (oder jemand anderes) - wegen der Zeit
    mit a und b hast du aber erstma zu tun ;)


    Bis wann hast du die Aufgabe?