Geometrie

    Hallo Zusammen,


    habe ein paar Fragen, hauptsächlich Formelumstellungen, da bin ich mir nicht ganz sicher, habe meistens Lösungen raus, die nicht seien können.
    Sind aber eigentlich keine schweren Aufgaben, bzw, es sind bis auf eine nur Fragen zu Aufgaben:


    1) Diese Formel müsste ich nach r1 umstellen, das bekomme ich aber gar nicht hin (ich weiß, das müsste ich eigentlich können)
    V = 1/3 * pi * h (r1^2 + r1 * r2 + r2^2)
    2) Wie bekomme ich eine Seite im rechtwinkligen Dreieck raus, ich brauche C, und habe nur A (= 16cm). Habe auch keine Winkel (ausser den rechten Winkel. Gibt es da überhaupt eine Möglichkeit das so auszurechnen?
    3) Wie bekomme ich bei einem Kugelsektor die Höhe (h) raus, wenn ich den Durchmesser (d= 6cm) und r (= 5cm) hab. r sind die unteren Längen. Ich hoffe, dass man sich das vorstellen kann, sonst versuch ich es noch mal einzuscannen.
    4) Auch hier hab ich Probleme beim umstellen:
    V = pi * r^2 * (2 * r), hier muss ich wieder nach r umstellen. Ich bekomme das nicht hin, wenn r in klammern steht, bzw mehrmals vorkommt.
    5) Jetzt hab ich noch eine ganze Aufgabe:
    Aus einem Zylinder mit dem Radius r und der Höhe h ist ein Kegel mit der selben Höhe und dem selben Radius rausgeschnitten. Ich muss jetzt den Rauminhalt des „Restkörpers“ angeben. Eigentlich ist das ja nicht schwer, Volumen der Beiden Körper ausrechnen und abziehen, aber ich habe keine Zahlen gegeben.
    V= (pi * r^2 * h) (1/3 * pi * r^2 * h)
    Es sind ja mehrere doppelt, kann man die einfach so abziehen? Nur so würde –1/3 übrig bleiben, das kann ja nicht richtig sein.


    Ich bin für jede Antwort dankbar!


    Lieben Gruss

    Ich antworte mal in Teilschritten:
    1) durch 1/3* π *h dividieren und dann den rechten Term auf die andere Seite holen, also:


    r1[UP]2[/UP] + r2r1+r2[UP]2[/UP-3V/( π h ) = 0
    Das ganze dann als quadratische Gleichung auffassen und für r1 lösen. Ergibt dann 2 Lösungen, wobei nur eine gültig ist, da bei der anderen ein negativer Radius raus kommt.
    Beachte, dass ich im Term r1*r2 die Faktoren vertauscht habe, damit die quadrat. Gleichung besser lesbar ist.

    2) Welches Winkel ist denn der rechte? Nur mit den Angaben geht es nicht, aber vielleicht steht da ja, dass es ein gleichschenkliges Dreieck ist, denn dann würde es gehen. (Nur aus den Angaben kann man aber nix machen. Vorher kommt das Dreieck, ergibt sich vielleicht aus der Umgebung was, etc. Mal etwas genauer beschreiben.)

    4)

    Zitat

    V = pi * r^2 * (2 * r),

    Da musst du einen Fehler bei der Formel haben, denn so wäre das ja einfach nur ne Multiplikation zu V= 2π*r [UP]3[/UP]
    Da müsstes du nur durch 2π dividieren und dir dritte Wurzel ziehen.
    Allerdings kommt mit die Formel merkwürdig vor. Prüfe bitte das noch mal.

    5) Also Zahlen sind was für Weicheier :D


    Jeder der auch nur annähernd etwas natur- oder ingenieurwisschenschaftliches macht, rechnet solange mit Formeln, bis sie auf das notwendigste reduziert sind. Erst dann werden Zahlen eingesetzt. ;)


    So, das Volumen des Zylinders ist ja
    VZ= π*r[UP]2[/UP]*h


    das des Kegels
    VK=1/3* π*r[UP]2[/UP]*h


    Da der Kegel genauso hoch ist wie der Zylinder und auch den selben Radius hat (kann man sich ja mit einer einfachen Skizze verdeutlichen) ist also das r und das h in beiden Formeln das gleiche. -->


    VRest = VZ - VK
    = (1 - 1/3)*π*r[UP]2[/UP]*h = 2/3*π*r[UP]2[/UP]*h


    Es beleiben also 2/3 vom Zylinder als Rest übrig, wenn man daraus einen Kegel fräst, der genauso hoch ist und den gleichen Radius hat. Oder umgekehrt gesagt, der Abfall ist das doppelte des Kegels.

    Danke für die schnelle Antwort!


    zu 4) Die Formel ist normalerweise V= pi * r^2 * h,
    h soll hier 2*r sein, deswegen die Formel


    zu 2) Das war ein Teil einer Aufgabe, wo ich den Rauminhalt und den Oberflächeninhalt einer zusammengestückelten Figur ausrechnen soll. Dafür fehlen mir aber einige Größen. Ich hoffe man kann alles auf dem Bild noch erkennen (hatte schon ein bisschen "drinrum gekritzelt") Ich habe r1=15cm, Zylinderdurchmesser 6cm, h1=16cm und Gesamthöhe= 27cm.


    zu3) Das ist das Bild, nur leider habe ich auch hier schon ein paar Notizen im Bild gemacht.

    Zitat

    zu 4) Die Formel ist normalerweise V= pi * r^2 * h,
    h soll hier 2*r sein, deswegen die Formel

    Dann gilt meine Lösung, die ich vorher schon dazu geschrieben habe. Einfach multiplizieren.


    zu 3)
    Das kann man mit dem Pythagoras machen. Wenn du dein Bild anschaust, dann siehst du einen schwarzen Strich, der vom Mittelpunkt der Kugel zum Mittelpunkt der Kugelsphäre geht. Ich nenne ihn mal s.
    S kanst du jetzt mit dem Pythagorssatz ausrechnen, nämlich
    r[UP]2[/UP] - (d/2)[UP]2[/UP] = s[UP]2[/UP]


    Ebenfalls siehst du im Bild, dass s+h = r ist, da der Radius der Kugel ja überall gleich ist, also auch vom Mittelpunkt der Kugel zum obersten Punkt der Kugelsphäre. Also einfach s in s+h=r einsetzen und nach h umstellen. Wenn dir das mit den Formeln zu kompliziert ist, kannst du auch oben s erst mit Zahlen ausrechnen und dann unten einsetzen.


    Hier ist mal ein schönes Bild dazu:
    http://mathworld.wolfram.com/SphericalCap.html
    Dort ist die Seite a dein d/2 und R-h ist unser s.


    zu 2) kommt später

    zu 2) Na das sieht doch schon viel anders aus. Du hast nämlich noch eine Seite mehr. Und zwar ist deine Seite AB, also c.


    Du hast doch den Radius r1 des unteren Kreises und den Radius r2 des mittleren Kreises (halber Zylinderduchrmesser).


    Deine Seite c ist damit also c = r1 - r2.


    Jetzt hast du 2 Seiten und kannst mit dem Pythagoras deine Höhe h berechnen.


    Hier mal ein schönes Bild zum Kegelstumpf.
    http://de.wikipedia.org/wiki/Kegelstumpf


    Stelle dir gedanklich vor, dass du h soweit nach rechts verschiebst bis es die Seite des Kegels berührt. Du verschiebst also h exakt um den oberen Radius.

    Danke für die HIlfe. Das meiste ist geschafft.


    Jetzt hab ich noch eine Frage zu Nummer 2)
    Hier hab ich eine gesamthöhe von 27cm, die zusammengesetzten Zylinder und Halbkugel sind 11cm hoch, wie bekomme ich raus, wie hoch der Zylinder ist? Er hat einen Radius von 3cm, falls das irgendwie hilft, mehr Angaben habe ich dazu nicht.


    Und noch eine Frage zu Aufgabe 5)
    Ich muss hier noch eine andere Teilaufgabe rechnen:


    Die Höhe h betrage nunmehr gerade r. Wie hoch muss ein zu einer Kugel vom Radius r gehöriger Kugelabschnitt sein, damit er den gleichen Rauminhalt besitzt?
    Volumen vom Kugelabschnitt= 1/3 * pi * h^2 * (3 * r *h)
    jetzt würde ich nach h umstellen (wenn ich es denn dann könnte ;o) weiter als nachfolgend komme ich nicht, und das ist mit Sicherheit falsch:
    -h-h*h^2-h = V/ (9 * pi * r^3)


    Ok, noch eine Frage zu Nr. 3)
    Leiten Sie wie in a, jedoch unabjängig vom Zahlenbeispiel, eine Formel für die Höhe h her, wenn r1 und r bekannt sind und h wie im Bild kleinder als r ist.
    ????
    Die Höhe hatte ich mir in a) abgeleitet von der Formel:
    r^2= r1^2 + (r - h)^2
    ->
    h^2=(r1^2 + r^2) / r^2
    (kann/muss ich da schreiben:
    h= (r1^2+ r^2) / r^2
    Für euch hört sich das wahrscheinlich blöd/einfach an, aber ich weiß es nichtmehr)


    Wie bezieh ich das dann auf die Aufgabe, wenn h kleiner als r ist

    Mhhh 5. hat Interstar doch schon gelöst für dich.



    Bei 3. geb ich dir den Tipp einfach mal einen Kugelschnitt durch den mittelpunkt zu machen, so dass du einen Kreis hast. Dann trägst du alle Maße an und da wirst du sehen, dass die Höhe sich leicht mit hilfe des Satz des Pythagoras bestimmen läßt.



    Ich weiß jetzt leider nicht was du mit "Durchmesser (d= 6cm) und r (= 5cm) hab. r sind die unteren Längen" meist.


    Was sollen die unteren Längen sein?


    Zu veranschaulichung kannst du ja auchmal im Link nachschauen


    Links:
    http://www.formel-sammlung.de/…ungsflaechen-1-14-88.html

    also mal zu Nr.5:


    Du meinst sicher, dass der Kugelabschnitt das gleiche Volumen haben soll, wie dein zuvor berechnetes Volumen VRestvom Restkörper, ne? Also VRest hast du ja. Jetzt musst du wirklich nur noch deine Volumenformel vom Kugelabschnitt nach h umstellen.


    In deiner Volumenformel ist ein Fehler drin.
    Richtig lautet sie: VKugelabschnitt = 1/3 * pi * h^2 * (3*r - h)


    Allerdings ist das sehr schwer nach h umzustellen. Darfst du irgendein Hilfmittel benutzen, z.b. einen graphischen Taschenrechner oder PC? Dann könnte man das nämlich grafisch lösen.


    3) kommt gleich

    ich nenne das jetzt mal 3b)


    (nächstes Mal vielleicht schon am Anfang die Aufgaben unterteilen, also evtl. kennzeichnen, dass es sich um 1a), 2a) 3a) usw. handelte. ;) )


    Ich beziehe mich mal auf dein Bild http://forum.abi-pur.de/misc2.…download&attachmentid=129


    Erstmal denke ich, dass in der Formulierung ein Fehler ist.
    Nicht h soll kleiner sein als r1, sondern r1 muss kleiner sein als r.


    Die "Herleitung" von h ist sehr einfach.
    Du hast ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seiten r1, r, r-h.


    Damit gilt der Satz des Pythagoras


    r[UP]2[/UP] = r1[UP]2[/UP] + (r-h)[UP]2[/UP]


    Das stelle nach h um und fertig ist deine Formel. Ein Hinweis zum umstellen: Du erhälst für h eine quadratische Gleichung. Die musst du lösen. Wenn du dir die Wurzel der quadrat. Gleichung anschaust, dann siehst du auch, dass r1 kleiner sein muss als r.


    Wenn du beim Umstellen Probleme hast, schreibe einfach nochmal.

    Danke schonmal, werd mich später damit beschäftigen, aber schonmal kurz zu 3b) das war kein Fehler, die Aufgabe ging so.


    Nächstes mal werde ich sie unterteilen, habe nicht dran gedacht (sind auch bei mir nicht wirklich diese Nummern, sind eigentlich 9-12, und ich habe ich auch nicht alle unterteilungen hier hingeschrieben, ich komm deshalb selbst total durcheinander)