Kugel im Raum – Hilfe bei Aufgaben!

    Hallo!


    Tja, die (kurzen) Ferien sind nun leider wieder vorbei und schon gibt es wieder die ersten Hausaufgaben.


    Unser Thema zur Zeit ist „Kugeln im Raum“ und ich habe 3 Aufgaben, wobei ich 2 davon schon gelöst habe und nur gerne eine Kontrolle auf Richtigkeit hätte. Nur bei der dritten weiß ich leider nicht weiter und hoffe hier auf Hilfe :)


    Aufgabe 1.)


    Bestimmen Sie die Gleichung der Kugel durch die Punkte A, B, C und D.


    A (10/6/13)
    B (10/10/11)
    C (-2/6/-5)
    D (10/-2/-3)


    Meine Gleichung lautet wie folgt:


    K: (x + 4)² + (y + 4)² + (z + 4)² = 585



    Aufgabe 2.)


    Bestimmen Sie die Gleichung der Kugel durch den Punkt P (12/4/16), die die x-y-Ebene im Ursprung berührt.


    Meine Gleichung lautet wie folgt:


    K: (x – 0)² + (y – 0)² + (z - 13)² = 169



    Aufgabe 3.)


    Die Kugel K geht durch den Punkt P (2/6/10) und wird von der y-Achse, die durch den Mittelpunkt M von K geht, bei y = 2 geschnitten.
    Bestimmen Sie die Gleichung der Kugel K.


    Hier komme ich nicht einmal auf einen Lösungsansatz, trotz Skizzen, die ich mir gemacht habe :(


    Würde mich sehr freuen, wenn mir jemand die Lösung hierfür verraten und meine anderen beiden Lösungen kontrollieren könnte :)


    Danke!


    Rayne

    Also deine Kugelgleichungen oben stimmen beide nicht. Das kannst du schnell selber durch einsetzen der Punkte prüfen.


    Bei allen drei aufgaben geht man gleich vor. man hat 3 oder mehr Punkte, die man evtl vorher bestimmen muss, und bestimmt daraus die Kugelgleichungen.

    Also bei der zweiten komme ich zu einer wahren Aussage, wenn ich den Punkt in meine Gleichung einsetze ?(


    Bei der ersten Aufgabe kann ich nicht verstehen, wieso die nicht stimmt *grübel*


    Meine 3 Teilterme lauten:


    a: 8ym - 4zm = -16


    b: -24xm - 36zm = 240


    c: -16ym -32zm = 192


    Damit komme ich auf


    ym = -4
    zm = -4
    xm = -4


    2 Seiten Rechnung und irgendwo ist vielleicht ein mini-Fehler...ich hasse das :( ;)

    Bei 2. Scheinst du auch die Besonderheit der Aufgabenstellung erkannt zu haben, oder ist es zufall dass du xm = ym = 0 eingesetzt hast?


    bei 3. überleg ich auch noch nebenbei.


    Die gerade durch den Mittelpunkt der Kugel läßt auf den Normalenvektor der kugel schließen. mal sehen was man daruas machen kann

    Zitat

    Original von Rayne
    Aufgabe 3.)


    Die Kugel K geht durch den Punkt P (2/6/10) und wird von der y-Achse, die durch den Mittelpunkt M von K geht, bei y = 2 geschnitten.
    Bestimmen Sie die Gleichung der Kugel K.


    Ist das alles was gegeben ist?

    Ich hab grad nochmal ALLES durchgecheckt.
    Ich komme immer wieder auf -4.


    Ich verstehe das nicht.


    Na bei der 2. Aufgabe muss ich die beiden Werte doch 0 setzen, oder? Der Mittelpunkt liegt ja quasi irgendwo auf der z-Achse, denn nur so kann der Kreis den Ursprung auf der x-y-Ebene berühren.
    Dann habe ich den Abstand vom Mittelpunkt zu dem Punkt P berechnet, was den Radius ergibt.


    Ich habe übrigens die komplette Aufgabenstellung abgetippt, da fehlt nichts!

    Zitat

    Wie lautet deine allgemeine Kugelgeleichung?


    Na ich habe die berechneten Werte (xm, ym, zm) in die erste quadratische Gleichung eingesetzt.


    Diese Gleichung lautet:


    (10 - xm)² + (6 - ym)² + (13-zm)² = r²


    Das sieht dann so aus:


    (10 + 4)² + (6 + 4)² + (13 + 4)² = r²
    585 = r²
    r = √ (585)


    Und die Kreisgleichung sieht doch so aus:


    (x - xm)² + (y - ym)² + (z - zm)² = r ²


    Also werden doch alle meine -4 zu +4, aber dann geht das alles wieder nicht auf

    Nunja, so einfach ist das nicht. Das sieht eher aus wie geraten.


    um das zu lösen musst du ein Gleichungssystem aus den 4 Kugelgleichungen aufstellen, also:


    (10 - xm)² + (6 - ym)² + (13-zm)² = r²


    (10 - xm)² + (10 - ym)² + (11-zm)² = r²


    (-2 - xm)² + (6 - ym)² + (-5-zm)² = r²


    (10 - xm)² + (-2 - ym)² + (-3-zm)² = r²



    Und das muss du lösen! Ist recht viel rechenaufwand.


    Bei 2. und 3. ist Köpchen gefragt.


    bei 2. Wissen wir das die Kugel die x-y-Achse im Ursprung berührt! Das berührt ist wichtig, dann daraus kann man ableiten das der Mittelpunkt auf der z-Achse liegt und xm = ym= 0 ist.


    Nun wieder ein gleichungssystem


    (12 - 0)² + (4 - 0)² + (16-zm)² = r²


    (0 - 0)² + (0 - 0)² + (0-zm)² = r²




    Bei 3. ist es ähnlich. Da liegt der Mittelpunkt auf der y-Achse, deswegen ist xm = zm =0


    Und dann wieder ein gleichungssystem ...

    Ja, genau so habe ich das bei Aufgabe 1 auch gemacht --> erst 4 quadratische Gleichungen aufgestellt, diese dann ausgerechnet und zusammengefasst und dann aufgelöst.
    Deshalb schrieb ich ja "2 Seiten Rechnung..." ;)


    Aufgabe 2 müsste meine Gleichung doch aber stimmen, oder?
    Wie gesagt, wenn ich P einsetze, kommt eine wahre Aussage heraus.
    Geraten habe ich auch hier nicht, wie du an meiner Erläuterung in einem Beitrag weiter oben von mir sehen kannst ;)

    wo bei 1. dein Fehler liegt kann ich dir nciht sagen ohne den kompletten lösungsweg zu sehen. Aufjedenfall ist die Gleichung falsch, wie man mit den Proben zeigen kann.


    Mmh entschuldige bei 2. hab ich wohl einen fehler gemacht. Ja die Gleichung stimmt

    Ok der Fehler liegt sehr früh


    (10 - xm)² + (6 - ym)² + (13-zm)² = r²


    --> xm² - 20·xm + ym² - 12·ym + zm² - 26·zm - r² + 305 = 0


    Du hast aber


    xm² - 20·xm + ym² - 12·ym + zm² - 26·zm - r² = 305


    was gleich bedeutend mit


    xm² - 20·xm + ym² - 12·ym + zm² - 26·zm - r² - 305 = 0


    ist


    Denselben Fehler hast bei den anderen 3 Gleichungen gemacht

    Oh verdammt, da hab ich wirklich gar nicht dran gedacht :rolleyes:
    Habe das alles im Kopf gleich auf die andere Seite geholt und gar nicht an die Vorzeichnen gedacht...


    Vielen Dank für deine Hilfe, da wäre ich echt nicht selber drauf gekommen :))