Hilfffffffffffe M-A-T-H-E

    Hallo,
    ich habe hier mal wieder ein kleines Matheproblem!!
    Unsere Lehrerin hat uns die ferien Zeit gegeben um diese netten Aufgaben zu lösen, leider bin ich nicht so das mathegenie und wollte deswegen mal in die rude fragen ob mir vielleicht jemand helfen könnte.


    Ein Ikosaeder ist ein Körper mit 20 gleich großen Flächenstücken. Auf 10 von diesen 20 Flächen ist 1 Auge aufgemalt, bei 6 sind es 2 Augen, dreimal 3 und einmal 4 Augen.


    a) Welche Augensumme wird man im Mittel bei 100 Würfen erhalten?


    b) Es wird dreimal geworfen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die Augensumme
    (1) größer als 10;
    (2) genau gleich 5;
    (3) höchstens gleich 5?


    c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat man bei 100 Würfen
    (1) mehr als 50mal ein Auge;
    (2) mindestens 75mal weniger als 3 Augen?


    d) Bestimme für den 100fachen Wurf dieses Ikosaeders ein zum Erwartungswert symmetrisches Intervall, in dem die Anzahl der Einsen (der Zweien) mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 96% liegen wird.


    e) Der Ikosaeder wird dadurch verändert, dass in eines der Felder mit 2 Augen ein weiteres Auge eingezeichnet wird. Ein Mitspieler vermutet diese Manipulation, möchte aber diese erst aussprechen, wenn nach 100 Würfen die Anzahl der Würfe mit Augenzahl 2 aus dem in d) berechneten Intervall herausfällt.
    Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Mitspieler keinen Anlass zum Einspruch hat. Was hat die betrachtete Situation mit dem Testen einer Hypothese zu tun?

    Also erstmal ein Teil:


    Die Wahrscheinlichkeit für eine
    1 liegt bei 10/20,
    2 liegt bei 6/20,
    3 liegt bei 3/20 und für eine
    4 liegt bei 1/20.


    a)
    Damit ergibt sich bei 100 Würfen die Augensumme so:
    A = 100*(10/20*1 + 6/20*2 + 3/20*3 + 1/20*4)
    A = 175


    Die durchschnittliche Augensumme ist also 175.


    b)
    Es sind 3 Würfe. Die Wahrscheinlichkeit ergibt sich aus den Einzelwahrscheinlichkeiten jeder Kombination die zu dem Ergeignis führt.
    1) Summe > 10 --> es ist nur möglich 444, 443
    Die Wahrscheinlichkeit ist also P(444)+P(443)
    =(1/20 * 1/20 * 1/20) + (1/20 * 1/20 * 3/20) = 1/2000 = 0,0005


    2) genau 5 --> 311, 221
    -->
    P(genau 5) = P(311)+P(221)
    =(3/20 * 10/20 * 10/20) + (3/20 * 3/20 *10/20) = 0,0825


    3) <=5 --> 111, 112, 113, 122, 311, 221
    P(<=5) = P(111) + P(112) + P(113) + P(122) + P(311) + P(221)
    = 0,365


    so Nr c), d), und e) hab ich noch nicht. Solche Wahrscheinlichkeitsrechnung ist bei mir auch schon lange her.
    Vielleicht kannst ja mal hinschreiben, was du dir da gedacht hast. Dann habe ich evtl. ein Ansatzpunkt. :D

    Mein problem waren auch die letzten 3 Aufgaben! Ich habe mich schon mit ner freundin hingesetzt und versucht einen Ansatz zufinden aber wir wussten da auch nicht wieter. Desweiteren haben wir auch schon einen Mathestudent gefragt, aber er konnte Storastik auch nicht mehr.


    Und solche Aufgaben bekommen wir über Weihnachten auf! Nett oder?

    Na dann werde ich mich mal heute Abend nochmal ran setzen.
    Hab hier bei mir zu Hause ein altes Schulbuch von mir gefunden, und werde mal sehen was sich da so machen lässt.
    Hab nämlich das Problem, dass meine ganzen Mathebücher vom Studium in meiner Wohnung sind und ich sie über Weihnachten nicht hier zu Hause hab. Und Internet ist mit Modem auch nicht wirklich so toll. :rolleyes:


    Und mein Gedächtnis lässt in Bezug auf Stochastik sehr zu wünschen übrig. ;(

    Ok, ich denke ich hab c) und d) gelöst.


    Voraussetzung das dir die Lösung was bringt, ist allerdings das du von der Methode schon mal was gehört hast bzw. die im Unterricht behandelt wurde.
    Außerdem hängt es davon ab, was du als Hilfsmittel verwenden darfst. Programmierbarer/grafikfähiger Taschenrechner? PC mit Mathematikprogramm? Oder alles per Hand?


    Ich denke, das Problem kann man mit einer Binominalverteilung lösen.
    Die Funktion der Binominalverteilung lautet wie folgt:


    Wp[UP]n[/UP](k) = ([UP]n[/UP]k)*p[UP]k[/UP]*(1-p)[UP]n-k[/UP],


    wobei ([UP]n[/UP]k) der Binominalkoeffizient ist.


    Da es doch ein wenig dauern würde das Verfahren zu beschreiben, möchte ich gerne wissen, ob du die Binominalverteilung schon kennst. Denn es wäre ja nicht so schön, wenn ich hier was erkläre, und du hattest es im Unterricht noch nicht. Dann schöpft ja eure Lehrerin gleich verdacht. ;)


    Falls ihr die Binominalverteilung schon kennt, beschreibe ich gern die Lösung.


    Edit:
    Mit der Normalverteilung würde es evtl. auch gehen.

    Edit:
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    Ich habe festgestellt, dass die Gaussverteilung (Normalverteilung) leichter zu rechnen ist, weil die Funktion einfacher ist. Sie enthält nämlich keine Fakultäten, wie es bei der Binominalverteilung der Fall ist.


    Also diesen Beitrag hier erstmal überspringen und den Beitrag darunter lesen.


    Diesen Beitrag lasse ich aber stehen, da hier ein paar Grundlagen aufgeführt sind.
    ------------------------------------


    Zitat

    Ja wir hatten den Binominalkoeffizient im Unterricht schon behandelt

    Naja das wichtigste ist nicht der Binominalkoeffizient, sondern die Binominalverteilung. Alternativ geht das auch mit der Normalverteilung (Gaussverteilung).


    Ich erkläre das hier erstmal für die Binominalverteilung:


    Bei der Aufgabe c)(1) gibt es 2 Ereignisse, und zwar es wird eine 1 gewürfelt oder keine 1.
    Damit ist die Wahrscheinlichkeit p zum Würfeln einer 1 gleich 50%, also p=0,5. Die Wahrscheinlichkeit keine 1 zu würfeln ist ebenfalls 50%, also q=0,5.
    (Auf dem Würfel sind ja zur Hälfte Einsen und zur Hälfte andere Zahlen)


    Wir möchten jetzt wissen, wie wahrscheinlich es ist, unter dieser Voraussetzung eine bestimmte Anzahl an Einsen zu würfeln. Genau das gibt die Binominalverteilung an.


    Die Verteilung Wp[UP]n[/UP](k) = ([UP]n[/UP]k) * p[UP]k[/UP] *( 1 - p)[UP]n-k[/UP],
    gibt an, wie wahrscheinlich es ist, dass GENAU k-mal ein Ereignis (welches selbst die Wahrscheinlichkeit p hat) in n Versuchen auftritt.


    Hier für die Aufgabe gilt also n=100; p=0,5; k=50.
    Damit würde uns Wp[UP]n[/UP](k) = 0,079 liefern. Die Wahrscheinlichkeit also, dass bei 100 Versuchen GENAU 50mal die Eins gewürfelt wird, liegt bei rund 0,08, also 8%.
    Wir wollen aber wissen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, das MEHR als 50mal eine 1 gewürfelt wird.
    Dies würde dem Ergebnis entsprechen GENAU 51mal, GENAU 52mal, GENAU 53, ... GENAU 100mal eine 1 gewürfelt.
    Man muss also für k = 51 ... 100 die Wahrscheinlichkeit Wp[UP]n[/UP](k) ausrechnen und addieren. Dann hat man die Wahrscheinlichkeit dafür, bei 100 Würfen mehr als 50 mal eine 1 zu würfeln.


    Nun ist es sehr aufwendig knapp 50mal diese Funktion auszurechnen. Deswegen kann man einen grafischen Taschenrechner zur Hilfe ziehen (oder den PC, wenn du ein Mathematikprogramm hast).
    Lass dir mit dem Taschenrechner die Funktion W0,5[UP]100[/UP](k) = ([UP]100[/UP]k) * 0,5[UP]k[/UP] * (1 - 0,5)[UP]100-k[/UP] zeichnen.
    Wenn du diese Funktion in den Grenzen von k=51 bis 100 integrierst, erhälst du ebenso das Ergebnis. (Das k wäre in deinem Taschenrechner die x-Achse)
    Falls du keine technischen Hilfsmittel hast, musst du das wohl per Hand machen.


    Als Ergebnis habe ich raus:
    Integralrechnung: W = 0,42 --> 42%
    "Per Hand" (also Summation): W = 0,46 --> 46%


    Die "per Hand" Rechnung ist hierbei genauer. Ich habe das natürlich nicht mit der Hand gerechnet, sondern mittels eines grafischen Taschenrechners. Dort kann man Funktionen summieren.
    Also z.B. so: ∑ ( ([UP]100[/UP]k)*0,5[UP]k[/UP]*(1 - 0,5)[UP]100-k[/UP] , k,51,100). Das summiert alle Werte für k von 51 bis 100.


    Die Wahrscheinlichkeit mehr als 50mal eine 1 bei 100 Versuchen zu würfeln, liegt bei 46%.



    c)(2)
    Das läuft genau identisch ab. Hier soll das Ereignis Zahl<3 betrachtet werden, also die Zahlen 1 und 2.
    Daraus folgt, das deren Wahrscheinlichkeit p=0,8 also 80% ist, da sie ja 16 von 20 Felder auf dem Würfel belegen.
    Das bedeuet für die Binominalverteilung
    W0,8[UP]100[/UP](k) = ([UP]100[/UP]k) * 0,8[UP]k[/UP] * (1 - 0,8 )[UP]100-k[/UP]


    Diese muss man jetzt wieder für k=75 bis 100 ausrechnen und alles auf summieren, also
    W0,8[UP]100[/UP](75) + W0,8[UP]100[/UP](76) + ... + W0,8[UP]100[/UP](100).
    Das sind 26 Rechnungen. Hier muss man übrigens bei 75 anfangen ( bei c)(1) haben wir bei 51 angefangen), da in der Aufgabe steht, mindestens 75mal <3 Augen, während bei (1) steht, mehr als 50mal 1 Auge.


    Wenn bei dir das integrieren mit dem Taschenrechner leichter ist, dann kannst du auch anstatt der Summation, wieder von k = 75 bis 100 integrieren.
    Bei der Integration kommt raus: W = 0,89 --> 89%
    Bei der Summation (ist genauer): W = 0,91 --> 91%


    Die Wahrscheinlichkeit mindestens 75mal eine Zahl <3 bei 100 Versuchen zu würfeln, liegt bei 91%.


    So das war jetzt ganz schön viel. Da ich nicht weiß, ob du das per Hand, oder mit einem Taschenrechner rechnest, weiß ich auch nicht, ob der Weg überhaupt für die praktikabel ist. Zumal in der Binominalverteilung ein n! drin vorkommt, und einige Taschenrechner bei 100! nicht weiterkommen.


    Falls dir die Normalverteilung oder Gaussverteilung (Gaussche Glockenkurve) etwas sagt, dann erkläre ich es dafür auch noch.
    Das wird dann nicht ganz so viel Text, weil du eigentlich nur die Funktion austauschen musst.
    Allerdings kann man die Normalverteilung/Gaussverteilung schwer per Hand rechnen, sondern brauch dazu mind. einen grafischen Taschenrechner.


    d)
    wenn du c) verstanden hast ist das relativ einfach.
    Da schreibe ich aber erst was zu, wenn ich weiß mit welcher Verteilung du rechnen möchtest, und auf welchem Weg.


    Noch ein Hinweis:
    Falls dir die ganze Begriffe gar nix sagen, und du so was ähnliches in der Schule noch gar nicht hattest, dann ist anzunehmen, dass ihr das vielleicht anders rechnen sollt. Allerdings ist mir leider kein anderer Weg eingefallen. Außerdem ist dieser Weg mit entsprechenden Hilfsmittel (grafischer Taschenrechner, PC) sehr leicht zu rechnen.

    Ok, ich habe mir das mal mit der Gaussverteilung angesehen und ich denke, dass ist viel einfacher.
    Also mal das ganze damit beschrieben:


    Die Gaussfunktion lautet W(x)= 1/( σ*√ (2*Pi) ) * e[UP]- (x-m)²/(2*σ²)[/UP]
    m ist der Mittelwert. Da die Wahrscheinlichkeit eine Eins zu würfeln p=0,5 ist, also 50%, ergibt sich bei 100 Versuchen, damit einen Mittelwert von m=50 (m=n*p).
    σ ist die Standardabweichung. Sie ergibt sich aus σ² = n*p(1-p) und ist damit σ = √ ( n*p(1-p) ) --> σ=5.


    Damit erhält man die Gaussverteilung wie folgt:
    W(x)= 1/(5*√ (2*Pi))*e[UP]- (x - 50)²/(2*25)[/UP]
    Die Gaussverteilung gibt an, wie wahrscheinlich es ist, dass GENAU x-mal ein Ereignis (hier: eine 1 zu würfeln) in n Versuchen auftritt. (Das n und p fließt hier in der Standardabweichung mit ein, bei der Binominalverteilung war es in der Formel direkt mit drin)


    --> W(50) = 0,079
    Die Wahrscheinlichkeit, dass bei 100 Versuchen GENAU 50mal die Eins gewürfelt wird, liegt bei rund 0,08, also 8%.


    Wir wollen aber wissen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, das MEHR als 50mal eine 1 gewürfelt wird.
    Dies würde dem Ergebnis entsprechen GENAU 51mal, GENAU 52mal, GENAU 53mal, ... GENAU 100mal eine 1 zu würfeln.
    Man muss also für x = 51 ... 100 die Wahrscheinlichkeit W(x) ausrechnen und addieren.
    Das kann man per Hand machen, in dem man ca. 50 Mal die Werte in die Funktion einsetzt und immer x variiert. Wenn man dann W(51) + W(52) + W(53) + ... +W (100) addiert, dann hat man die Wahrscheinlichkeit dafür, bei 100 Würfen mehr als 50 mal eine 1 zu würfeln.


    Wenn du das mit einem grafischen Taschenrechner machen möchtest, kannst du auch die Funktion W(x) zeichnen lassen und dann über x in den Grenzen x = 51 bis 100 integrieren. Das wird allerdings etwas ungenauer.


    Als Ergebnis habe ich raus (das gleiche wie bei der Binominalverteilung):
    Integralrechnung: W = 0,42 --> 42%
    "Per Hand" (also Summation): W = 0,46 --> 46%


    Die Wahrscheinlichkeit mehr als 50mal eine 1 bei 100 Versuchen zu würfeln, liegt bei 46%.



    c)(2)
    Das läuft genau identisch ab. Hier soll das Ereignis Zahl<3 betrachtet werden, also die Zahlen 1 und 2.
    Daraus folgt, das deren Wahrscheinlichkeit p=0,8 also 80% ist, da sie ja 16 von 20 Felder auf dem Würfel belegen.
    Der Mittelwert m ist damit m=80 (m=n*p =100*0,8 ).
    Die Standardabweichung σ = 4 ( σ = √ (100*0,8*0,2).
    --> W(x) = 1/(4*√ (2*Pi)) * e[UP]- (x-80)²/(2*16)[/UP]


    Diese muss man jetzt wieder für x=75 bis 100 ausrechnen und alles auf summieren, also W(75) + W(76) + ... + W(100).
    Das sind 26 Rechnungen. Hier muss man übrigens bei 75 anfangen ( bei c)(1) haben wir bei 51 angefangen), da in der Aufgabe steht, mindestens 75mal <3 Augen, während bei (1) steht, mehr als 50mal 1 Auge.


    Wenn bei dir das integrieren mit dem Taschenrechner leichter ist, dann kannst du auch anstatt der Summation, wieder von x =75 bis 100 integrieren.


    Bei der Integration kommt raus: W = 0,89 --> 89%
    Bei der Summation (ist genauer): W = 0,91 --> 91%


    Die Wahrscheinlichkeit mindestens 75mal eine Zahl <3 bei 100 Versuchen zu würfeln, liegt bei 91%.


    So das war die Gaussverteilung. Also schlage ich vor diesen Weg zu gehen. Von der Methode her sind Binominalverteilung und Gaussverteilung(Normalverteilung) gleich, allerdings ist der Rechenaufwand bei Gauss um ein Vielfaches kleiner.
    Auch kannst du das jetzt mit einem ganz normalen Taschenrechner rechnen, auch wenn man bei (1) ca. 50 mal die e-Funktion eintippen muss, und bei (2) ca. 26 mal.


    d) erkläre ich dann sobald du c) fertig hast. Das ist dann sogar mit Gauss noch leichter. ;)


    Du kannst dir gerne den Beitrag hier drüber mal durchlesen, er beschreibt noch etwas genauer das ganze. Der Unterschied liegt nur in der verwendeten Funktion.


    Hier noch ein Link zu der Gaussverteilung/Normalverteilung:
    http://de.wikipedia.org/wiki/Normalverteilung

    Oh das alles muss ich erst mal verdauen, ich versuche es zu verstehen. Aber nicht mehr heute abend, ich schaue es mir auf jedenfall morgen an und melde mich dann noch mal bei dir im neuen Jahr.


    Also damit einen guten Rutsch.



    PS: Danke Danke Danke, dass du dir die Zeit nimmst!!!


    Anja

    Ja, schaue dir das in Ruhe an. Und wenn du dazu fragen hast, erkläre ich einzelne Punkte auch genauer.

    Zitat

    PS: Danke Danke Danke, dass du dir die Zeit nimmst!!!

    Mach ich gerne.
    Und so frische ich ja auch mein Gedächtnis wieder auf. ;)


    Wünsche dir auch einen Guten Rutsch ins neue Jahr 2005.
    Und natürlich ein paar leichtere Hausaufgaben. :D

    Das ist schön.


    Dann zu d)
    Der Erwartungswert für das Würfeln einer 1 bei 100 Versuchen ist ja 50, da ja die Wahrscheinlichkeit für die 1 bei p=0,5 liegt.


    Bei 50 hat ja auch die Gausverteilung für die Eins ein Maximum.
    Das bedeutet, dass die größten Wahrscheinlichkeiten um dieses Maximum angeordnet sind und für kleine sowie große Werte, gegen Null geht (wie die Gaussche Glockenkurve, falls du die mal hattest).


    Aus Erfahrung bzw. aus der Literatur oder Unterricht (kann man auch herleiten, wäre aber jetzt zu viel) weiß man, das bei einer Gaussverteilung in einem Intervall von +-2σ ( σ war die Standardabweichung bzw. σ [UP]2[/UP] die Streuung) um das Maximum herum, ein sogenannter Vertrauensbereich von ca. 96%.
    Das bedeutet also, wenn du W(x) für x von 50-2σ bis 50+2σ summierst (bzw. integrierst) erhälst du 0,965, also 96,5%.


    Das kann man so deuten:
    Wenn du W(x) von 0 bis 100 summierst, erhälst du genau 1, also 100%, denn irgendein Ergebnis muss ja nach 100 Versuchen rauskommen. Also ist die Wahrscheinlichkeit, wenn du über alls Versuche summierst gleich 100%.
    Summierst du aber nur über 50-2σ bis 50+2σ (σ war 5 --> [40;60] ) erhälst du schon eine Wahrscheinlichkeit für dein Ergebnis von ca. 96%. D.h. deine Anzahl der Einsen nach 100 Versuchen liegt mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 96% im Bereich von 40 - 60. Das die Anzahl der Einsen im Bereich 0-39 und 61-100 liegt, ist insgesamt nur mit 4% wahrscheinlich.


    So für die Anzahl der Zweien gilt die selbe Betrachtung.
    Die Wahrscheinlichkeit eine 2 zu würfeln war p=0,3, also 30%.
    Das heißt, der Erwartungwert bei 100 Versuchen liegt bei 30.
    Die Standardabweichung war σ = √ ( n*p(1-p) ) --> σ = √21
    Das bedeutet dein Bereich liegt bei 30-2σ bis 30+2σ .
    Wenn du das jetzt wieder ausrechnest, also W(x) (diesmal für die 2) über 30-2σ bis 30+2σ (also ca. [21;39] ) summierst/integrierst, erhälst du eine Wahrscheinlichkeit für diesen Bereich von 0,962, also 96,2%.


    Und damit haben wir auch schon e) gleich mit gelöst.
    Denn wenn die Manipulation durchgeführt wird, gibt es nur noch 5 Seiten, wo eine 2 drauf ist. --> p = 5/20 = 1/4 = 0,25.
    --> Der Erwartungwert bei 100 Versuchen ist 25.
    25 liegt aber in unserem Bereich [21;39].
    Die Wahrscheinlichkeit für diesen Bereich war ja 96,2%, d.h. die Wahrscheinlichkeit des gesamten Rests (also 0-20 und 40-100) liegt bei 3,8%. Und das ist ja genau die gesuchte Wahrscheinlichkeit.

    So wir mussten heute Mathe vorstellen und es war ganz witzig, wir mussten nur a und b vorstellen, bei c hat uns unsere Lehrerin gesagt, dass es dafür Tabellen im tafelwerk gibt und bei den anderen beiden aufgaben hat sie gesagt, dass es Leistungskursniveo ist und wir es deswegen nicht machen brauchten.


    Also ich danke dir nocheinmal und noch ne schöne Wochen!


    Anja

    Bitte. :D
    Ist natürlich nicht ok, wenn euch eure Lehrerin Hausaufgaben aufgibt und im Nachhinein sagt, dass ihr nur einen Teil machen sollt.
    Aber jetzt weißt du wenigstens, wie man an solche Aufgaben rangehen kann. Am besten die Lösung schön aufheben, vielleicht brauchst du es ja irgendwann einmal, z.B. im Studium. ;)


    Bis zum nächsten Mal im hier im Forum.