Logarithmus

    Hallo,


    Ich bräuchte bei einer Aufgabe Eure Hilfe:
    --> Zeigen Sie, dass für a, b > 0 gilt:
    log a (b) * log b (a) = lg 10


    Ich komm nicht auf die Lösung, hoffe Ihr habt ein paar Ideen.




    Noch eine kleine Frage. Wäre bei der folgenden Aufgabe vielleicht eine Wertetabelle die Lösung? (oder Intervallverschachtellung?)
    - Beweisen Sie, dass 1<u<10 die Beziehung 0<lg (u) <1 zur Folge hat.

    Nein lös das lieber algebraisch also einfach durch termumformung



    Also lg 10 = log10 10 = 1


    loga b · logb a = lg 10 = 1


    tja dann auflösen und du hast eine wahre Aussage, aber ob das schon als beweisdurchgeht weiß ich nicht.

    Mal zum Beweis:
    Zuerst erkläre ich wie man drauf kommt, und dann wie er richtig lautet:


    logab * logba = 1 ist der Basiswechselsatz.


    für logab schreibe ich = c und
    für logba schreibe ich = d


    --> c*d = 1 Außerdem gilt ja:


    logab = c --> a[up]c[/up] = b
    logba = d --> b[up]d[/up] = a


    wenn man jetzt b[up]d[/up] = a in a[up]c[/up] = b einsetzt erhält man (b[up]d[/up])[up]c[/up] = b und daraus
    b[up]d*c[/up] = b und wegen d*c = 1 dann
    b[up]d*c[/up] = b[up]1[/up] = b. Das ist eine wahre Aussage.


    Nun hat man damit aber nix gewonnen, weil ich aus unserer Ausgangsgleichung die Bedingung c*d genommen habe. Ich habe auf diesem Weg also den Beweis mit der Aussage durchgeführt, was man eigentlich beweisen soll. Das geht natürlich nicht.




    Was aber geht ist der umgekehrte Weg.
    (Wichtig ist jetzt das man a,b,c,d erstmal ganz allgemein sieht, ohne den Hintergrund von oben)


    Ich gehe von der Gleichung aus b=b[up]1[/up]. Die ist gültig, wie man leicht sieht.
    Unter der Bedingung c*d=1 kann ich schreiben
    b = b[up]1[/up] = b[up]d*c[/up] = (b[up]d[/up])[up]c[/up]


    nun führe ich für den Term b[up]d[/up] die Variable a ein, also
    b[up]d[/up] = a --> b = a[up]c[/up].


    Ich habe also die 2 Gleichungen b[up]d[/up] = a und a[up]c[/up] = b mit der Bedingung c*d=1.


    Die erste Gleichung kann ich umstellen(**): b[up]d[/up] = a --> logba = d
    und die zweite: a[up]c[/up] = b --> logab = c


    Ich habe also 2 Terme für c und d gefunden, nämlich die Log-Terme. Da ich die Umformungen unter der Bedingung c*d =1 gemacht habe, muss auch
    logab * logba = 1 gelten.


    Die Einschränkung a,b>0 kommt dadurch zustande, dass die Umformung (**) keine äquivalente Umformung ist, und der Logarithmus eben nur für a,b > 0 definiert ist.


    Edit:
    Für mich "klingt" dieser "Beweis" ziemlich schlüssig und ich hoffe nirgends irgendwelchen Logikfehlern aufgesessen zu sein.