Integrieren, ich brauche Hilfe beim Üben.

    Hi,


    also wir schreiben am Freitag ne Kursarbeit im LK 12. Thema: Integrale. Heute hat uns unser Lehrer ein Übungsblatt gegeben, ich blicke das Thema allerdings noch nicht so ganz. Ich schreibe jetzt 3 Beispielaufgaben und ich bitte um ausführliche Lösungen, damit ich üben kann. Und kann mir vielleicht jemand sagen wann ich substituieren muss ? ?( und wie das genau geht ? Irgendwo muss da ja z stehen und dann muss man z' hinzufügen, und dann kann man aus dx dz machen und den Vorfaktor "wegfallen" lassen. So oder so ähnlich, oder ?


    Also:


    Gib eine Stammfunktion zu f an:


    a) 3 / ((x-2)^2)


    b) ((x-1)^2) / (x^3+x)


    c) 1 / (x* (ln x))



    Ich danke euch schonmal 100.000x ;)

    Hi,


    wir (bzw. ich) helfen dir gern, allerdings nur plump Lösungen bzw. Lösungswege zu posten bringt nicht soviel.


    Deswegen sollten wir die Aufgaben gemeinsam lösen, d.h. Tipps von uns und du musst natürlich dich hinssetzen und rechnen.


    Ok?


    Noch eine Frage, sollt ihr das alles per Substitution lösen oder sind die Lösungswege freiauswählbar?

    Zitat

    Original von Cepheiden
    Hi,


    wir (bzw. ich) helfen dir gern, allerdings nur plump Lösungen bzw. Lösungswege zu posten bringt nicht soviel.


    schon klar, will ich ja auch gar nicht. Die Segelflugzeugaufgabe haben wir damals auch super gelöst.


    Zitat


    Noch eine Frage, sollt ihr das alles per Substitution lösen oder sind die Lösungswege freiauswählbar?


    Nein Lösungswege sind wählbar, kann aber sein das die ein oder andere Aufgabe kommt wo das vorgegeben wird. Und Substitution ist so eigentlich etwas womit ich die allergrößten Probleme habe, beim Rest sinds nur kleine Unsicherheiten oder Ungenauigkeiten die ich wohl schnell lernen kann und nachher auch anwenden werde.

    Warum versucht du nicht erst einmal dein erstes Beispiel mit Substitution und schreibst uns auf wie weit du kommst und wir sehen dann schon, wobei du deine Probleme hast und können dir besser helfen.


    bei Aufgabe a wäre es sinnvoll z=x-2 zu setzen


    ich weiss nur nicht mehr genau, was du aufstellen musst. Aber glaub dx/dz und das wäre eins und damit erhältst du mit der Substitution eine einfache Funktion, die du integrieren kannst.


    Bei dem Ergebnis setzt du dann für das z einfach das oben ersetzte ein und fertig.

    Nunja, das Problem bei der Substitution ist immer das man einen passenden Term zum Substituieren braucht.


    z=x-2 wie Malotus vorschlägt ist ein einfacher und schneller Gedanke um a zu lösen.


    leider sind nich immer alle Aufgaben so einfach zu lösen. Und Substituieren wird deutlich einfacher wenn man schon einen 'Blick' für sowas hat.

    Zitat

    Original von Cepheiden


    leider sind nich immer alle Aufgaben so einfach zu lösen


    Aber beispielsweise, wenn man hat x / x²+3 und das jetzt via Substitution lösen müsste, dann muss ich doch oben 2x hinschreiben und vor das Integral 1/2 ist es nicht so ? Aus 2x kann ich dann dz machen, sodass am Ende (1 / z) dz stehen würde und ich jetzt das Integral auflöse.
    Also:
    = z[UP]-1[/UP]
    = z^0 = 1
    reichlich dämliches Beispiel, oder hab ich was falsch gemacht ?


    EDIT: Kann ich hier den ln anwenden ? Also wäre das dann der ln (z) ?


    also dann wäre das Ergebnis des Integrals: ln (x²+3) ? ?(

    achso, wichtig ist es das man durch die Substitution das zu berechnene Integral auf ein Grundintegral, also ein einfach zu lösenes Integral, zu vereinfachen.


    Dazu nutzt man auch aus, das durch das ersetzen des 'dx' sich Teile des Integrals rauskürzen.


    dx = dt / g'(x)


    g'(x) = g(x) dt (1. Ableitung)


    Bsp. c) 1 / (x* (ln x))


    Hier bietet es sich an den Logarithmus zu substituieren.

    Zitat

    Original von Cepheiden
    du hast dann ∫ 1/(2·z) · dz


    Aber das ist doch = 1/2 ∫1/z dz also genau das was ich geschrieben habe oder ? Gut dann stimmt das schonmal, war mir nur nicht sicher... weiter gehts... :))

    kann sein, hab nicht soviel Zeit mich in ausformulierte Gleichungen reinzuversetzen ;)


    achso bei ((x-1)^2) / (x^3+x) komm ich per hand bis jetzt nicht aufs Ergebnis. Aber per Substitution allein wird das nix, da muss man schon Partielle Integration anwenden.

    Zitat

    Original von Cepheiden
    kann sein, hab nicht soviel Zeit mich in ausformulierte Gleichungen reinzuversetzen ;)


    achso bei ((x-1)^2) / (x^3+x) komm ich per hand bis jetzt nicht aufs Ergebnis. Aber per Substitution allein wird das nix, da muss man schon Partielle Integration anwenden.


    Substitution doch gar nicht oder ? nur die partialbruchzerlegung ?

    So:


    ∫ (x+1/2) / ( √ (x²+x)) dx


    Ich habe raus:


    √ (x²+x)


    kann das sein ?


    Ich habe x²+x = z


    dann muss ja folgendes geschehen: 1/2 ∫ (2(x+1/2)) / ( √ (z)) dx
    oben steht z' also folgendes:


    1/2 ∫1 / √ (z) dz


    dann die Stammfunktion zu 1/2 * z[UP]-1/2[/UP] ist 1/2 *2*z[UP]1/2[/UP] und das ist = z[UP]1/2[/UP]
    jetzt muss ich z wieder einsetzen, und dann kommt eben √ (x²+x) raus.


    Stimmt das oder wo habe ich einen Fehler begangen ? ?(

    so jetzt häng ich an folgender Aufgabe:


    (7-3x) / ( (x-1)² (x+3) )


    Ich habe das ganze mit Partialbruchzerlegung folgender Maßen gemacht:
    A / (x+3) + (Bx + C) / (x-1)²


    Zusammengefasst, und dann müsste bnei mir


    2A+3B+C =3
    A+3C = 7
    A+B = 0


    sein... aber dieses Mal habe ich irgendwo einen Formfehler begangen, ich weiß nur nicht wo, da stimmt irgendwas nicht....